【高等数学】第七章 微分方程——第七节 常系数齐次线性微分方程

上一节：【高等数学】第七章 微分方程——第六节 高阶线性微分方程
总目录：【高等数学】 目录

1. 二阶常系数线性微分方程

• 定义
  在二阶齐次线性微分方程$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$$中
  如果 $y^{\prime }$，$y$ 的系数 $P(x)$，$Q(x)$ 均为常数，即$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$$其中 $p,q$ 是常数
  那么称为二阶常系数齐次线性微分方程
  如果 $p,q$ 不全为常数
  那么称为二阶变系数齐次线性微分方程
• 解法
  • 根据二阶齐次线性微分方程通解的结构，需要求出两个线性无关的解
  • 考虑到$y={\mathrm{e}}^{rx}$与其各阶导数都只相差一个常数因子，可以利用指数函数尝试作为二阶常系数齐次线性微分方程的解
  • $y={\mathrm{e}}^{rx},y^{\prime }=r{\mathrm{e}}^{rx},y^{\prime \prime }=r^2{\mathrm{e}}^{rx}$
  • 代入二阶常系数齐次线性微分方程得特征方程$$r^2+pr+q=0,r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$$
  • 特征方程解的具体情况
    • 当$p^2-4q>0$时，$r_1,r_2$是两个不等实根，$r_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},r_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$
    • 当$p^2-4q=0$时，$r_1,r_2$是两个相等实根，$r_1=r_2=-\frac{p}{2}$
    • 当$p^2-4q<0$时，$r_1,r_2$是两个共轭虚根，$r_1=\alpha +\beta i,r_2=\alpha -\beta i$，其中$\alpha =-\frac{p}{2},\beta =\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$
  • 对应的微分方程通解的情况
    • 特征方程有两个不等实根时，$y_1={\mathrm{e}}^{r_{1}x},y_2={\mathrm{e}}^{r_{2}x}$，$y_1,y_2$是两个线性无关的解，$y=C_1{\mathrm{e}}^{r_{1}x}+C_2{\mathrm{e}}^{r_{2}x}$
    • 特征方程有两个相等实根时，仅可得$y_1={\mathrm{e}}^{r_{1}x}$，为此还需求出另一个与$y_1$线性无关的解$y_2$
      • 为此，不妨令$y_2=u{y}_1$，其中$u$不是常数，求出$y_2^{\prime }={\mathrm{e}}^{r_{1}x}(u^{\prime }+r_{1}u),y_2^{\prime \prime }={\mathrm{e}}^{r_{1}x}(u^{\prime \prime }+2r_1{u}^{\prime }+r_1^{2}u)$
      • 代入二阶常系数齐次微分方程得$$u^{\prime \prime }+(2r_1+p)u^{\prime }+(r_1^2+p{r}_1+q)u=0$$
      • 由于$r_1$是特征方程的二重根，所以$r_1^2+p{r}_1+q=0,2r_1+p=0$，因此$u^{\prime \prime }=0$
      • 不妨取$u=x,y_2=x{\mathrm{e}}^{r_{1}x}$
      • 综上，$y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{r_{1}x}$
    • 特征方程有两个共轭虚根时，$y_1={\mathrm{e}}^{\alpha +\beta i}={\mathrm{e}}^{\alpha x}(\cos \beta x+\mathrm{i}\sin \beta x),y_2={\mathrm{e}}^{\alpha -\beta i}={\mathrm{e}}^{\alpha x}(\cos \beta x-\mathrm{i}\sin \beta x)$
      • 取${\bar{y}}_1=\frac{1}{2}(y_1+y_2)={\mathrm{e}}^{\alpha x}\cos \beta x,{\bar{y}}_2=\frac{1}{2\mathrm{i}}(y_1-y_2)={\mathrm{e}}^{\alpha x}\sin \beta x$，根据齐次线性微分方程的线性叠加性，${\bar{y}}_1,{\bar{y}}_2$也是微分方程的解，且$\frac{{\bar{y}}_2}{{\bar{y}}_1}=\cot \beta x$不为常数，即${\bar{y}}_1,{\bar{y}}_2$线性无关
      • $y={\mathrm{e}}^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$
• 求解实用步骤
  • 写出特征方程$r^2+pr+q=0$
  • 求出特征根$r_1,r_2$
  • 根据特征根的不同情况，写出二阶常系数齐次线性方程的通解

    特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的两个根 $r_1,r_2$	微分方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$ 的通解
    两个不相等的实根 $r_1,r_2$	$y=C_1{\text{e}}^{r_{1}x}+C_2{\text{e}}^{r_{2}x}$
    两个相等的实根 $r_1=r_2$	$y=(C_1+C_{2}x){\text{e}}^{r_{1}x}$
    一对共轭复根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta \text{i}$	$y={\text{e}}^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$

2. $n$阶常系数线性微分方程

• $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是
  $$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+p_2{y}^{(n-2)}+\cdots +p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0,$$其中 $p_1,p_2,\cdots ,p_{n-1},p_n$ 都是常数.
• 有时用记号 $\mathrm{D}$ (叫做微分算子) 表示对 $x$ 求导的运算 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$, 把 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 记作 $\mathrm{D}y$, 把 $\frac{{\mathrm{d}}^{n}y}{\mathrm{d}{x}^n}$ 记作 ${\mathrm{D}}^{n}y$, 并把$n$ 阶常系数齐次线性微分方程记作
  $$({\mathrm{D}}^n+p_1{\mathrm{D}}^{n-1}+\cdots +p_{n-1}\mathrm{D}+p_n)y=0$$
• 记
  $$L(\mathrm{D})={\mathrm{D}}^n+p_1{\mathrm{D}}^{n-1}+\cdots +p_{n-1}\mathrm{D}+p_n$$$L(\mathrm{D})$ 叫做微分算子 $\mathrm{D}$ 的 $n$ 次多项式.
  于是$n$ 阶常系数齐次线性微分方程可记作
  $$L(\mathrm{D})y=0$$
• $n$阶常系数线性微分方程的通解

  • 特征方程$$r^n+p_1{r}^{n-1}+p_2{r}^{n-2}+\cdots +p_{n-1}r+p_n=0$$

  • 根据特征方程的根，对应的微分方程的解有以下情况：

    特征方程的根	微分方程通解中的对应项
    单实根 $r$	给出一项: $C{\text{e}}^{rx}$
    一对单复根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta \text{i}$	给出两项: ${\text{e}}^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$
    $k$ 重实根 $r$	给出 $k$ 项: ${\text{e}}^{rx}(C_1+C_{2}x+\cdots +C_k{x}^{k-1})$
    一对 $k$ 重复根 $r_{1,2}=\alpha \pm \beta \text{i}$	给出 $2k$ 项: ${\text{e}}^{\alpha x}\left[(C_1+C_{2}x+\cdots +C_k{x}^{k-1})\cos \beta x+(D_1+D_{2}x+\cdots +D_k{x}^{k-1})\sin \beta x\right]$

  • 从代数学知道，$n$ 次代数方程有 $n$ 个根（重根按重数计算），而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项，且每项各含一个任意常数，这样就得到 $n$ 阶常系数齐次线性微分方程的通解
    $$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2+\cdots +C_n{y}_n.$$

下一节：
总目录：【高等数学】 目录