时间序列预测的自回归方法

时间序列预测的自回归方法

自回归

自回归（AR）模型基于"历史会重复"的假设，认为当前值是过去若干期值的线性组合。其核心公式为：

$$X_t=c+\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t$$

参数含义：

• $p$：自回归阶数（考虑的历史观测值数量）
• ${\varphi }_i$：第i阶自回归系数（历史值对当前值的影响权重）
• $c$：常数项（序列的基准水平）
• ${\epsilon }_t$：白噪声（均值为0的随机误差）

适用场景：

• 平稳时间序列（统计特性不随时间变化）
• 短期预测（如股票日内波动）
• 温度、电力负荷等具有持续性的序列

优劣性：
✓ 计算简单，解释性强
✓ 对短期依赖关系建模有效
✗ 无法处理趋势和季节性
✗ 要求序列必须平稳

移动平均

移动平均（Moving Average Model, MA）与AR模型互补，其核心是通过历史误差项（白噪声）的线性组合来解释当前观测值的波动。与AR模型关注"历史值的影响"不同，MA模型更侧重"历史随机扰动的影响"，其表达式为：

$$X_t=\mu +{\epsilon }_t+\sum _{i=1}^q{\theta }_i{\epsilon }_{t-i}$$

参数含义：

• $q$：移动平均阶数（考虑的历史误差项数量）
• ${\theta }_i$：第i阶移动平均系数（历史误差对当前值的影响权重）
• $\mu$：序列均值（长期平均水平）
• ${\epsilon }_t$：当前时刻的白噪声误差

适用场景：

• 含随机冲击的序列（如受新闻影响的股价）
• 噪声主导的工业传感器数据
• 残差分析（与其他模型组合时）

优劣性：
✓ 有效捕捉突发性波动
✓ 对异常值较鲁棒
✗ 单独使用预测能力有限
✗ 难以解释长期模式

自回归移动平均

自回归移动平均（Autoregressive Moving Average Model, ARMA）是AR模型与MA模型的结合，同时考虑历史观测值和历史误差项对当前值的影响。ARMA模型适用于平稳时间序列（即均值、方差和自协方差不随时间变化）：

$$X_t=c+\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t+\sum _{j=1}^q{\theta }_j{\epsilon }_{t-j}$$

参数含义：

• $p$：自回归阶数（AR部分）
• $q$：移动平均阶数（MA部分）
• ${\varphi }_i$：第i阶自回归系数
• ${\theta }_j$：第j阶移动平均系数
• $c$：常数项（序列基准值）

适用场景：

• 金融收益率预测
• 平稳的销售数据
• 短期经济指标预测

优劣性：
✓ 统一框架处理序列依赖和随机冲击
✓ 参数经济性（参数较少）
✗ 仍要求严格平稳性
✗ 对长期趋势建模能力弱

差分自回归移动平均

差分自回归移动平均（Autoregressive Integrated Moving Average Model, ARIMA）是ARMA模型的扩展，专门用于处理非平稳时间序列。其核心思想是通过差分操作（Differencing）消除序列的非平稳性（如趋势或季节性），再对差分后的平稳序列应用ARMA模型：

$$(1-\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{B}^i)(1-B{)}^d{X}_t=c+(1+\sum _{j=1}^q{\theta }_j{B}^j){\epsilon }_t$$

参数含义：

• $p$：自回归阶数
• $d$：差分阶数（使序列平稳所需的差分次数）
• $q$：移动平均阶数
• $B$：滞后算子（$B{X}_t=X_{t-1}$）
• $(1-B{)}^d$：d阶差分算子

适用场景：

• 具有趋势的序列（GDP增长）
• 季节性调整后的数据
• 运输量、能源消耗等宏观指标

优劣性：
✓ 处理非平稳序列的金标准
✓ 扩展性强（可衍生SARIMA等）
✗ 差分可能导致信息损失
✗ 参数选择复杂（需反复试验）