模拟退火算法对Rastrigin函数的优化

前言

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matlab代码

clc; clear; close all;%% 参数设置
T_init = 100;           % 初始温度
T_min = 1e-3;           % 最小温度
alpha = 0.95;           % 温度衰减系数
max_iter = 50;         % 每温度下的迭代次数
bounds = [-5.12, 5.12]; % 搜索空间边界% 目标函数（Rastrigin）
rastrigin = @(x, y) 20 + x.^2 - 10*cos(2*pi*x) + y.^2 - 10*cos(2*pi*y);% 理论最优解（已知）
x_theory = 0;
y_theory = 0;
f_theory = rastrigin(x_theory, y_theory);%% 初始化
x = (bounds(2)-bounds(1)) * rand() + bounds(1);
y = (bounds(2)-bounds(1)) * rand() + bounds(1);
f_current = rastrigin(x, y);x_best = x;
y_best = y;
f_best = f_current;%% 绘制目标函数曲面
[X, Y] = meshgrid(bounds(1):0.2:bounds(2), bounds(1):0.2:bounds(2));
Z = rastrigin(X, Y);figure('Color','w');
h_surf = surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.5); % 曲面
colormap parula
hold on
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('f(x, y)')
view(45, 45)
grid on% 绘制理论最优解
h_theory = plot3(x_theory, y_theory, f_theory, 'b*', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 2); % 蓝星% 初始化轨迹句柄（空句柄占位）
h_traj = plot3(NaN, NaN, NaN, 'ro', 'MarkerSize', 3, 'MarkerFaceColor', 'r');% 添加标题占位符
title_str = title('');%% 模拟退火主过程
T = T_init;
iter_total = 0;while T > T_minfor i = 1:max_iteriter_total = iter_total + 1;% 产生新解x_new = x + 0.5 * (2*rand()-1);y_new = y + 0.5 * (2*rand()-1);% 边界限制x_new = max(min(x_new, bounds(2)), bounds(1));y_new = max(min(y_new, bounds(2)), bounds(1));f_new = rastrigin(x_new, y_new);delta = f_new - f_current;% 接受准则if delta < 0 || rand() < exp(-delta/T)x = x_new;y = y_new;f_current = f_new;% 更新最优解if f_current < f_bestx_best = x;y_best = y;f_best = f_current;end% 动态可视化更新轨迹plot3(x, y, f_current, 'ro', 'MarkerSize', 3, 'MarkerFaceColor', 'r');drawnow limitrateend% 更新标题显示迭代次数title_str.String = sprintf('Simulated Annealing: Iteration %d, T = %.4f', iter_total, T);end% 温度衰减T = T * alpha;
end%% 显示最终找到的最优解
h_best = plot3(x_best, y_best, f_best, 'gp', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'g');% 最终设置图例（使用句柄数组）
legend([h_surf, h_theory, h_traj, h_best], ...{'Rastrigin Surface', 'Theoretical Optimum', 'Search Trajectory', 'Best Found Solution'}, ...'Location', 'northeast');
%% 打印结果
fprintf('理论最优解: x = %.4f, y = %.4f, f(x,y) = %.4f\n', x_theory, y_theory, f_theory);
fprintf('实际最优解: x = %.4f, y = %.4f, f(x,y) = %.4f\n', x_best, y_best, f_best);

运行结果

这段代码实现了模拟退火算法对Rastrigin函数的优化，并通过3D可视化展示了优化过程。

代码分析

一、核心数学原理与算法框架

模拟退火算法的核心思想源于固体退火过程，通过温度控制和概率接受准则实现全局优化，关键数学模型包括：

1. Metropolis接受准则
   对于新解与当前解的能量差$\Delta E=f_{\text{new}}-f_{\text{current}}$，接受新解的概率为：
   $$P=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }\Delta E<0(\text{新解更优})\\ \exp \left(-\frac{\Delta E}{T}\right)& \text{if }\Delta E\ge 0(\text{以概率接受劣解})\end{array}$$
   其中$T$为当前温度，温度越高，接受劣解的概率越大（利于全局搜索）；温度越低，概率越小（利于局部收敛）。

2. 温度衰减策略
   采用几何降温：$T_{k+1}=\alpha \cdot T_k$（$\alpha \in (0,1)$为衰减系数），确保温度从初始值逐渐降至终止温度。

二、代码核心模块解析

1. 参数设置与目标函数

% 参数设置
T_init = 100;           % 初始温度（控制初始搜索范围）
T_min = 1e-3;           % 终止温度（算法停止条件）
alpha = 0.95;           % 降温系数（控制收敛速度）
max_iter = 50;          % 每温度下的迭代次数（局部搜索深度）
bounds = [-5.12, 5.12]; % 搜索空间边界% 目标函数：Rastrigin函数（多峰复杂函数）
rastrigin = @(x, y) 20 + x.^2 - 10*cos(2*pi*x) + y.^2 - 10*cos(2*pi*y);

• Rastrigin函数的数学表达式为：
  $f(x,y)=20+x^2+y^2-10\left[\cos (2\pi x)+\cos (2\pi y)\right]$
  该函数在$(0,0)$处取得全局最小值0，周围分布大量局部极小值，适合测试算法的全局优化能力。

2. 初始化与可视化基础

% 初始化解（在搜索空间内随机生成）
x = (bounds(2)-bounds(1)) * rand() + bounds(1);  % x∈[-5.12,5.12]
y = (bounds(2)-bounds(1)) * rand() + bounds(1);  % y∈[-5.12,5.12]
f_current = rastrigin(x, y);  % 初始解的函数值% 初始化最优解（初始时最优解为初始解）
x_best = x; y_best = y; f_best = f_current;% 绘制目标函数曲面（可视化基础）
[X, Y] = meshgrid(bounds(1):0.2:bounds(2));  % 生成网格点
Z = rastrigin(X, Y);  % 计算网格点的函数值
h_surf = surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.5);  % 曲面句柄（用于图例）

• 初始解通过随机采样生成，确保算法从搜索空间的任意位置开始；
• 曲面可视化使用surf函数，通过h_surf保存句柄，用于后续图例关联。

3. 模拟退火主循环（核心实现）

T = T_init;  % 初始温度
iter_total = 0;  % 总迭代次数while T > T_min  % 温度未降至终止温度时循环for i = 1:max_iter  % 每个温度下迭代max_iter次iter_total = iter_total + 1;% 1. 生成新解（当前解附近随机扰动）x_new = x + 0.5*(2*rand()-1);  % 扰动范围：[-0.5,0.5]y_new = y + 0.5*(2*rand()-1);% 边界控制（确保新解在搜索空间内）x_new = max(min(x_new, bounds(2)), bounds(1));y_new = max(min(y_new, bounds(2)), bounds(1));% 2. 计算能量差ΔEf_new = rastrigin(x_new, y_new);  % 新解的函数值delta = f_new - f_current;        % ΔE = 新解能量 - 当前解能量% 3. 应用Metropolis准则接受新解if delta < 0 || rand() < exp(-delta/T)  % 新解更优 或 以概率接受劣解x = x_new;  % 更新当前解y = y_new;f_current = f_new;% 更新全局最优解if f_current < f_bestx_best = x;y_best = y;f_best = f_current;end% 可视化搜索轨迹（红点标记）plot3(x, y, f_current, 'ro', 'MarkerSize', 3, 'MarkerFaceColor', 'r');drawnow limitrate  % 实时刷新图形end% 更新标题（显示当前温度和迭代次数）title_str.String = sprintf('Simulated Annealing: Iteration %d, T = %.4f', iter_total, T);end% 温度衰减（几何降温）T = T * alpha;  % T_{k+1} = α·T_k
end

关键步骤解析：

• 新解生成：通过在当前解附近随机扰动生成新解（局部搜索），扰动范围控制在合理区间内；
• 能量差计算：$\delta =f_{\text{new}}-f_{\text{current}}$，反映新解与当前解的优劣；
• Metropolis准则：代码中delta < 0 || rand() < exp(-delta/T)直接实现了数学公式的逻辑——优质解必接受，劣质解按温度相关概率接受；
• 温度衰减：通过T = T * alpha实现几何降温，确保算法从“探索”逐渐转向“收敛”。

4. 可视化与图例修正

% 绘制最终最优解（绿色五角星）
h_best = plot3(x_best, y_best, f_best, 'gp', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'g');% 图例设置（通过句柄关联图形元素与标签）
legend([h_surf, h_theory, h_traj, h_best], ...{'Rastrigin Surface', 'Theoretical Optimum', 'Search Trajectory', 'Best Found Solution'}, ...'Location', 'northeast');

图例修正逻辑：

• 代码通过保存图形句柄（h_surf曲面、h_theory理论最优解、h_traj轨迹、h_best最终最优解），在legend函数中按顺序关联，确保：
  • Rastrigin Surface对应彩色曲面；
  • Theoretical Optimum对应蓝色星号（理论最优解(0,0)）；
  • Search Trajectory对应红色点（搜索轨迹）；
  • Best Found Solution对应绿色五角星（最终找到的最优解）。

三、结果输出与算法效果

代码最后输出理论最优解与实际找到的最优解：

fprintf('理论最优解: x = %.4f, y = %.4f, f(x,y) = %.4f\n', x_theory, y_theory, f_theory);
fprintf('实际最优解: x = %.4f, y = %.4f, f(x,y) = %.4f\n', x_best, y_best, f_best);

• 理论最优解：Rastrigin函数的全局最小值在$(0,0)$处，函数值为0；
• 实际最优解：模拟退火算法找到的近似最优解，通常接近$(0,0)$，函数值接近0（受参数和随机性影响）。

四、算法特点与参数调优

1. 全局优化能力：通过接受劣解的概率机制，算法能跳出局部极小值（Rastrigin函数的多峰特性对算法是重要考验）；
2. 参数影响：
   • 初始温度$T_{\text{init}}$：过大导致搜索效率低，过小易陷入局部最优；
   • 降温系数$\alpha$：接近1时降温慢（搜索更充分），但耗时更长；
   • 每温度迭代次数KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '_' at position 15: max_{\text{max_̲iter}：次数越多，局部搜索越充分。