【高等数学】第三章 微分中值定理与导数的应用——第一节 不定积分的概念与性质

上一节：【高等数学】第三章 微分中值定理与导数的应用——第八节 方程的近似解
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1. 原函数与不定积分的概念

• 原函数
  如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$，即对任一 $x\in I$，都有
  $$F^{\prime }(x)=f(x)\text{ 或 }\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x,$$
  那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$（或 $f(x)\mathrm{d}x$）在区间 $I$ 上的一个原函数．

• 原函数存在定理
  如果函数$f(x)$在区间$I$上连续，
  那么在区间$I$上存在可导函数$F(x)$，使对任一$x\in I$都有
  $$F^{\prime }(x)=f(x)$$

  设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续。取定一点 $a\in I$，定义函数
  $$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,x\in I.$$
  由于 $I$ 是区间（可以是闭区间、开区间、半开区间或无穷区间 ），且 $f(x)$ 在 $I$ 上连续，因此对任意 $x\in I$，闭区间 $[a,x]$ 或 $[x,a]$（取决于 $x$ 与 $a$ 的大小关系 ）包含于 $I$ 中，且 $f(t)$ 在该闭区间上连续，故积分存在且有限。
  由微积分基本定理：

  • 若 $x$ 为 $I$ 的内点，则$$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x).$$
  • 若 $I$ 包含左端点 $c$（即 $c=\inf I$ 且 $c\in I$ ），则在 $x=c$ 处，右导数为$$F_{+}^{\prime }(c)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{F(c+h)-F(c)}{h}=f(c).$$
  • 若 $I$ 包含右端点 $d$（即 $d=\sup I$ 且 $d\in I$ ），则在 $x=d$ 处，左导数为
    $$F_{-}^{\prime }(d)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{F(d+h)-F(d)}{h}=f(d).$$
    因此，$F(x)$ 在 $I$ 上可导（在端点处为单侧导数 ），且对任意 $x\in I$，有 $F^{\prime }(x)=f(x)$。故 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

• $F(x)+C$可以表达$f(x)$的任意一个原函数

  • 如果$F(x)$是$f(x)$的原函数，那么对任何常数 $C$，函数 $F(x)+C$ 也是 $f(x)$ 的原函数．
  • $f(x)$的任意两个原函数只相差一个常数

    $[F_1(x)-F_2(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)=0$
    $F_1(x)-F_2(x)=C$

• 不定积分
  在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$（或 $f(x)\mathrm{d}x$）在区间 $I$ 上的不定积分，即
  $$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$$
  其中记号 $\int$ 称为积分号，$f(x)$ 称为被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$ 称为被积表达式，$x$ 称为积分变量．
  函数 $f(x)$ 的原函数的图形称为 $f(x)$ 的积分曲线．

• 积分、导数、微分符号之间的关系

  • $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\int f(x)\mathrm{d}x]=f(x)$
  • $\mathrm{d}\left[\int f(x)\mathrm{d}x\right]=f(x)\mathrm{d}x$
  • $\int F^{\prime }(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$
  • $\int \mathrm{d}F(x)=F(x)+C$

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