最速下降法
首先，计算函数f的梯度向量：∇f(x1,x2)=[2x150x2]\nabla f(x_1,x_2) = \begin{bmatrix}2x_1\\50x_2\end{bmatrix}∇f(x1,x2)=[2x150x2]
然后，选择一个初始点(x10,x20)(x_1^0,x_2^0)(x10,x20)，比如(0,0)(0,0)(0,0)。
接下来，根据最速下降法的迭代公式进行迭代，直到收敛为止：
[x1k+1x2k+1]=[x1kx2k]−αk∇f(x1k,x2k)\begin{bmatrix}x_1^{k+1}\\x_2^{k+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1^{k}\\x_2^{k}\end{bmatrix} - \alpha_k \nabla f(x_1^k,x_2^k)[x1k+1x2k+1]=[x1kx2k]−αk∇f(x1k,x2k)
其中，αk\alpha_kαk是步长（学习率），通常需要通过试错法进行选取，以确保迭代的稳定性和收敛性。
在本例中，由于f(x1,x2)f(x_1,x_2)f(x1,x2)是一个凸二次函数，因此最速下降法可以保证收敛，并得到全局最优解。
具体的迭代过程如下：
| kkk | (x1k,x2k)(x_1^k,x_2^k)(x1k,x2k) | ∇f(x1k,x2k)\nabla f(x_1^k,x_2^k)∇f(x1k,x2k) | αk\alpha_kαk | (x1k+1,x2k+1)(x_1^{k+1},x_2^{k+1})(x1k+1,x2k+1) | f(x1k+1,x2k+1)(x_1^{k+1},x_2^{k+1})(x1k+1,x2k+1) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | (0,0) | (0,0) | 1 | (0,0) | 0 |
| 1 | (0,0) | (0,0) | 0.02 | (0,0) | 0 |
| 2 | (0,0) | (0,0) | 0.0008 | (0,0) | 0 |
| 3 | (0,0) | (0,0) | 0.000032 | (0,0) | 0 |
| 4 | (0,0) | (0,0) | 1.28E-6 | (0,0) | 0 |
| 5 | (0,0) | (0,0) | 5.12E-8 | (0,0) | 0 |
可以看到，最速下降法迭代6次后收敛，得到的最小值为0，也就是函数f(x1,x2)f(x_1,x_2)f(x1,x2)的最小值。请您继续提问，我将尽快回答您的问题。