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R² 决定系数详解：原理 + Python手写实现 + 数学公式 + 与 MSE/MAE 比较

news 2025/7/12 11:10:34

在回归任务中，评估模型好坏的指标有很多，除了常见的 MAE（平均绝对误差）、MSE（均方误差）、RMSE（均方根误差）之外，R²（决定系数） 也是非常常见且直观的重要指标。

✅ 一、什么是 R²？

R²，又叫 决定系数（coefficient of determination），是衡量模型拟合优度的一个指标。通俗来讲，R² 表示模型解释了多少比例的目标变量方差：

R² 越接近 1，说明模型越好；
R² 等于 0，说明模型还不如直接用均值来预测；
R² 小于 0，表示模型效果很差，比“瞎猜”还糟糕。

🧠 二、R² 的数学公式

我们先来看它的数学定义：

$R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}$

其中：

$R^2$ ：决定系数，衡量模型解释方差的能力
$y_i$ ：第 i 个样本的真实值
$\hat{y}_i$ ：第 i 个样本的预测值
$\bar{y}$ ：真实值的均值
$SS_{\text{res}}$ ：残差平方和（Residual Sum of Squares），衡量预测误差
$SS_{\text{tot}}$ ：总变差（Total Sum of Squares），衡量总波动

💻 三、Python手动实现 R²（不使用sklearn）

def r2_score_manual(y_true, y_pred):mean_y = sum(y_true) / len(y_true)ss_tot = sum((yt - mean_y) ** 2 for yt in y_true)ss_res = sum((yt - yp) ** 2 for yt, yp in zip(y_true, y_pred))return 1 - ss_res / ss_tot# 示例
y_true = [3, -0.5, 2, 7]
y_pred = [2.5, 0.0, 2, 8]print("R² score:", r2_score_manual(y_true, y_pred))  # 输出接近 0.948

🔍 四、R² 与 MAE、MSE、RMSE 的区别和联系

指标	含义	单位	对异常值敏感	解释性
MAE	平均绝对误差	是	较低	每个误差权重相同
MSE	平均平方误差	是（平方单位）	高	放大大误差
RMSE	均方根误差（MSE 开根号）	是	高	与原始单位一致
R²	决定系数，模型拟合优度	无单位	较敏感	衡量解释能力强弱