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算法分析的系统性总结

news 2025/7/4 6:41:31

1. 时间复杂度（Time Complexity）

（1）大O表示法（Big-O Notation）

定义：描述算法在最坏情况下随输入规模（n）增长的渐进上界，忽略常数项和低阶项。

常见复杂度（从优到劣）：

复杂度	示例算法	解释
O(1)	数组随机访问、哈希表查找	操作时间与输入规模无关
O(log n)	二分查找、平衡树（AVL/B树）操作	每次将问题规模减半（对数级增长）
O(n)	顺序查找、遍历链表	时间与输入规模成正比
O(n log n)	快速排序、归并排序、堆排序	分治法典型复杂度（线性对数阶）
O(n²)	冒泡排序、选择排序、插入排序	双层循环嵌套
O(2ⁿ)	斐波那契递归求解、穷举子集	指数爆炸，不可接受的大规模问题
O(n!)	旅行商问题（穷举所有排列）	阶乘级，仅适用于极小规模问题

（2）计算方法

单层循环：循环次数与n成正比 → O(n)。
嵌套循环：循环次数相乘 → O(n²) 或 O(n×m)。
分治算法：递归拆分问题（如归并排序）→ 主定理求解。
均摊分析：某些操作的高耗时被均摊到整体（如动态数组扩容的O(1)均摊时间）。

（3）实际意义

O(n log n)是排序算法的理论下限（基于比较的排序）。
优化方向：降低复杂度（如用哈希表O(1)替代线性查找O(n)）。

2. 空间复杂度（Space Complexity）

（1）定义

算法运行过程中额外占用的存储空间（不包括输入数据本身），同样用大O表示法描述。

（2）常见场景

复杂度	示例算法	空间消耗来源
O(1)	冒泡排序、迭代版斐波那契	仅用常数个变量（如临时变量）
O(n)	归并排序、递归版斐波那契	递归调用栈或辅助数组
O(n²)	邻接矩阵存储图	二维数组占用n²空间
O(log n)	平衡二叉树的递归遍历	递归栈深度等于树高（平衡时为log n）

（3）递归的空间复杂度陷阱

递归深度：每次递归调用占用栈帧空间，可能导致栈溢出（如斐波那契递归树O(2ⁿ)时间，O(n)空间）。
尾递归优化：某些编译器（如GCC）可将尾递归转为迭代，节省空间（如尾递归求阶乘）。

3. 递归 vs 迭代

（1）递归（Recursion）

核心思想：函数自我调用，通过递归基（终止条件）分解问题。
优点：
- 代码简洁（如树的遍历、分治算法）。
- 天然适合解决自相似问题（如汉诺塔、回溯法）。
缺点：
- 栈溢出风险（深度过大时）。
- 重复计算（如斐波那契递归树中存在大量重复子问题）。

（2）迭代（Iteration）

核心思想：通过循环（如for/while）重复执行代码块。
优点：
- 无栈溢出风险，空间效率高（如斐波那契迭代版用O(1)空间）。
- 通常性能更优（无函数调用开销）。
缺点：
- 代码可能冗长（如模拟递归栈的迭代式DFS）。

（3）转换与选择

场景	递归适用性	迭代替代方案
问题可分解为子问题	高（如归并排序）	需显式维护栈（如用栈模拟递归）
线性问题	低（易栈溢出）	直接循环（如计算阶乘）
动态规划	记忆化递归（Top-Down）	迭代填表（Bottom-Up）

（4）经典示例：斐波那契数列

# 递归版（O(2ⁿ)时间，O(n)空间）
def fib_rec(n):if n <= 1: return nreturn fib_rec(n-1) + fib_rec(n-2)# 迭代版（O(n)时间，O(1)空间）
def fib_iter(n):a, b = 0, 1for _ in range(n):a, b = b, a + breturn a

关键问题与优化

问题	解决方案	示例
递归重复计算	记忆化（Memoization）或动态规划	斐波那契中用`@functools.lru_cache`
栈溢出风险	改用迭代或尾递归优化	尾递归求阶乘（需编译器支持）
空间复杂度优化	原地操作（如快排的原地分区）	快速排序的Hoare分区法