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【分明集合】特征函数、关系与运算

news 2025/7/3 0:28:13

经典的集合论中，对于一个给定的集合，任意一个元素，或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者必居其一，且仅居其一，为了加以区分，通常将这样的集合称为分明集合、经典集合或者普通集合。

分明集合的特征函数

一般用分明集合的特征函数来刻画分明集合以及分明集合间的关系与运算 $x\in X,\chi_A(x)$

幂集：设论域为非空集合 $X$ ,称 $P(X)=\{A|A\subseteq X\}$ 为 $X$ 的幂集.

设 $A\in P(X)$ ，定义：

$\begin{aligned}\chi_A:X&\longrightarrow\{0,1\}\\x&\longmapsto\chi_A(x)\end{aligned}$

其中，

$\chi_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A\\0,&x\notin A\end{cases}$

函数 $\chi_A$ 称为 $X$ 的特征函数

分明集合 $A$ 由其特征函数 $\chi_A$ 唯一确定。

对任意 $x\in X,\chi_A(x)$ 表示 $x$ 对 $A$ 的属于程度。

$\chi_A( x) = 1$ 表示 $x$ 对 $A$ 的属于程度是 100%, 即 $x\in A$ ;
$\chi_A(x)=0$ 表示 $x$ 对 $A$ 的属于程度是0，即 $x\notin A$ 。

对任意 $x\in X$ , $x\in A$ ,或者 $x\notin A$ , 二者必居其一且仅居其一。

分明集合间的关系与运算

分明集合间的关系与运算可以由其特征函数来刻画.
1. $A\subseteq B\Longleftrightarrow$ 对任意 $x\in X$ ,有 $\chi_A(x)\leqslant\chi_B(x).$

2. $A\subset B\Longleftrightarrow$ 对任意 $x\in X$ ,有 $\chi_A(x)\leqslant\chi_B(x)$ ,且存在 $x_0\in X$ ,使得 $\chi_A(x_0)<\chi_B(x_0).$

3. $A=B\Longleftrightarrow$ 对任意 $x\in X$ ,有 $\chi_A( x) = \chi_B( x)$ .

4. $\chi_{A\cup B}(x)=\max\{\chi_A(x),\chi_B(x)\}=\chi_A(x)\:\bigvee\chi_B(x),x\in X.$

5. $\begin{aligned}\chi_{A\cap B}(x)=\min\{\chi_A(x),\chi_B(x)\}=\chi_A(x)\bigwedge\chi_B(x),x\in X.\end{aligned}$

6. $\chi_{A^{c}}(x)=1-\chi_{A}(x),x\in X.$

7. $\begin{aligned}\chi_{\cup_{i\in I}A_i}(x)=\sup\{\chi_{A_i}(x)|i\in I\}=\bigvee\{\chi_{A_i}(x)|i\in I\}=\bigvee_{i\in I}\chi_{A_i}(x),x\in X.\end{aligned}$

8. $\begin{aligned}\chi_{\cup_{i\in I}A_i}(x)=\sup\{\chi_{A_i}(x)|i\in I\}=\bigvee\{\chi_{A_i}(x)|i\in I\}=\bigvee_{i\in I}\chi_{A_i}(x),x\in X.\end{aligned}$

分明集合间运算的性质

$\mathcal{P}(X)$ 是分明集合

$A,B,C\in\mathcal{P}(X)$ ，有

1.幂等律： $A\bigcup A=A,\:A\bigcap A=A$

2.交换律： $A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A$

3.结合律： $(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup(B\bigcup C),(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap(B\bigcap C)$

4.吸收律： $A\bigcup(A\bigcap B)=A,A\bigcap(A\bigcup B)=A$

5.分配律： $A\bigcap (B\bigcup C)=(A\bigcap B)\bigcup(A\bigcap C) \\ \\ A\bigcup(B\bigcap C)=(A\bigcup B)\bigcap(A\bigcup C)$

6.两极律： $\begin{aligned}A\bigcup X=X,A\bigcap X=A,A\bigcup\emptyset=A,A\bigcap\emptyset=\emptyset\end{aligned}$

7.补余律： $A\bigcup A^\mathrm{c}=X,A\bigcap A^\mathrm{c}=\emptyset$

8.复原律： $(A^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}=A$

9.对偶律： $(A\bigcap B)^c=A^c\bigcup B^c,(A\bigcup B)^c=A^c\bigcap B^c$

10.无限分配律： $\begin{aligned}A\bigcap(\bigcup_{i\in I}A_i)&=\bigcup_{i\in I}(A\bigcap A_i),A\bigcup(\bigcap_{i\in I}A_i)&=\bigcap_{i\in I}(A\bigcup A_i)\end{aligned}$