当前位置：首页 > news >正文

从傅立叶级数到傅里叶变换和离散傅里叶变换及其逆变换：FS FT DFT IDFT

news 2025/6/29 17:59:04

1. 概述 FS 与 FT

通过数学分析的学习，我们都知道，宽至满足 Dirichlet 条件的周期函数，都可以分解展开成为傅里叶级数FS；通过欧拉公式和其推导，可以将针对周期函数的傅里叶级数展开 FS，扩展为针对普通可积非周期函数的傅里叶变换 FT。

但是，教材可能不会过多介绍可以做 FS 的函数，与可以做 FT 的函数之间的关系。这里简略比较一下。

1.1. FS与FT的关系

1.1.1. 两种函数的区别

能展开成傅里叶级数的函数（周期函数）比只能做傅里叶变换的函数（非周期函数）组成成分更简单，具体表现为：

频谱离散性：周期函数的频谱是离散的（仅含基频整数倍的成分），而非周期函数的频谱是连续的（包含所有可能的频率）。
能量集中性：周期函数的能量集中在少数谐波频率上，而非周期函数的能量分散在连续频域中。
数学约束：周期函数满足严格的周期性条件，而非周期函数只需满足可积性（如绝对可积）。

1.1.2. 两类函数的联系：

两者有着深刻的共同点，它们都在针对可数无限个（FS）或不可数无限个（FT）正交的三角函数基，进行的正交分解。

1.1.3. 周期函数更简单

约束更强：周期性限制了函数的自由度，只需描述一个周期内的行为。
谐波选择性：能量仅分布在基频的整数倍处，无需处理连续频率。
收敛性：满足 Dirichlet 狄利克雷条件的周期函数可用有限项傅里叶级数近似。

1.2. 傅里叶级数的函数组成（周期函数）

接下来复习一下 FS 。

周期性：函数必须满足 $x(t + T) = x(t)$ （T 为周期）。

频谱离散：由基频 $f_0 = 1/T$ 及其整数倍谐波组成。

成分简单性：仅需有限或可数无限个正弦/余弦分量即可精确表示。

傅里叶级数数学表达：

$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j 2\pi n f_{_0} t}, \quad c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-j 2\pi n f_{_0} t} dt$ wwws

示例：

方波：仅含奇次谐波（ $f_0, \ 3*f_0,\ 5*f_0, \dots$ ），系数随 $1/n$ 衰减。

$x(t) = \frac{4}{\pi} \left( \sin(2\pi f_0 t) + \frac{\sin(6\pi f_0 t)}{3} + \frac{\sin(10\pi f_0 t)}{5} + \cdots \right)$

锯齿波：含所有整数谐波，系数随 $1/n$ 衰减，参考方波的 FS 展开式。

1.3. 傅里叶变换的函数组成（非周期函数）

接下来复习一下 FT。

非周期性：函数无重复模式（或周期 $T \to \infty$ ）。

频谱连续：需要连续频率分量（所有 $f \in \mathbb{R}$ ）表示。

成分复杂性：需积分覆盖整个频域，可能包含任意频率的能量。

傅里叶变换和逆变换的数学表达：

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2\pi f t} dt, \quad x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2\pi f t} df$

示例：

矩形脉冲（单次非周期信号）：

$x(t) = \begin{cases} 1, & |t| \leq T/2 \\ 0, & \text{others} \end{cases}, \quad X(f) = T \cdot \text{sinc}(\pi f T)$

频谱为连续的 sinc 函数，能量分布在所有频率。

高斯脉冲：

$x(t) = e^{-t^2/2\sigma^2}, \quad X(f) = \sqrt{2\pi}\sigma e^{-2\pi^2 \sigma^2 f^2}$

频谱仍为高斯型，但需连续积分表示。

2. DFT 和 IDFT 的定义

通过离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换（IDFT）定义和实例，可以更好地体会其公式中各个参数的细节和意义。

离散傅里叶变换（DFT）：
对于长度为 N 的离散序列 $x[n]$ （其中 $n = 0, 1, \dots, N-1$ ），其 $DFT\ X[k]$ 定义为：

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cdot e^{-j \frac{2\pi}{N} kn}, \quad k = 0, 1, \dots, N-1$

逆离散傅里叶变换（IDFT）：
对于 DFT 结果 $X[k]$ ，其 $IDFT\ x[n]$ 定义为：

$x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \cdot e^{j \frac{2\pi}{N} kn}, \quad n = 0, 1, \dots, N-1$

3. 示例 1：简单的实数序列

输入序列 x[n]：
设 N = 4， $x[n] = [1, 0, 1, 0]$ 。

计算 DFT $X[k]$ ：

$X[k] = \sum_{n=0}^{3} x[n] \cdot e^{-j \frac{2\pi}{4} kn} = \sum_{n=0}^{3} x[n] \cdot e^{-j \frac{\pi}{2} kn}$

计算各 k：

k = 0:

$X[0] = 1 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{0} + 1 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{0} = 1 + 0 + 1 + 0 = 2$

k = 1:

$X[1] = 1 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{-j \frac{\pi}{2}} + 1 \cdot e^{-j \pi} + 0 \cdot e^{-j \frac{3\pi}{2}} = 1 + 0 + (-1) + 0 = 0$

k = 2k=2:

$X[2] = 1 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{-j \pi} + 1 \cdot e^{-j 2\pi} + 0 \cdot e^{-j 3\pi}$

k = 3:

$X[3] = 1 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{-j \frac{3\pi}{2}} + 1 \cdot e^{-j 3\pi} + 0 \cdot e^{-j \frac{9\pi}{2}}$

因此， $X[k] = [2, 0, 2, 0]$ 。

验证 IDFT：
计算 $x[n]$ 从 $X[k]$ ：

$x[n] = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{3} X[k] \cdot e^{j \frac{\pi}{2} kn}$

n = 0:

$x[0] = \frac{1}{4} (2 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{0} + 2 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{0}) = \frac{1}{4} (2 + 0 + 2 + 0) = 1$

n = 1:

$x[1] = \frac{1}{4} (2 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{j \frac{\pi}{2}} + 2 \cdot e^{j \pi} + 0 \cdot e^{j \frac{3\pi}{2}}$

n = 2:

$x[2] = \frac{1}{4} (2 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{j \pi} + 2 \cdot e^{j 2\pi} + 0 \cdot e^{j 3\pi}$

n = 3:

$x[3] = \frac{1}{4} (2 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{j \frac{3\pi}{2}} + 2 \cdot e^{j 3\pi} + 0 \cdot e^{j \frac{9\pi}{2}}$

得到 $x[n] = [1, 0, 1, 0]$ ，验证正确。

4. 示例 2：复数序列

输入序列 $x[n]$ ：
设 N = 4， $x[n] = [1, j, -1, -j]$ 。

计算 DFT $X[k]$ ：

$X[k] = \sum_{n=0}^{3} x[n] \cdot e^{-j \frac{\pi}{2} kn}$

计算各 k：

k = 0:

$X[0] = 1 \cdot e^{0} + j \cdot e^{0} + (-1) \cdot e^{0} + (-j) \cdot e^{0} = 1 + j - 1 - j = 0$

k = 1:

$X[1] = 1 \cdot e^{0} + j \cdot e^{-j \frac{\pi}{2}} + (-1) \cdot e^{-j \pi} + (-j) \cdot e^{-j \frac{3\pi}{2}}$

计算各项：

$e^{-j \frac{\pi}{2}} = -j$

$e^{-j \pi} = -1$

$e^{-j \frac{3\pi}{2}} = j$
因此：

$X[1] = 1 + j \cdot (-j) + (-1) \cdot (-1) + (-j) \cdot j = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

k = 2:

$X[2] = 1 \cdot e^{0} + j \cdot e^{-j \pi} + (-1) \cdot e^{-j 2\pi} + (-j) \cdot e^{-j 3\pi}$

计算：

$e^{-j \pi} = -1$

$e^{-j 2\pi} = 1$

$e^{-j 3\pi} = -1$
因此：

$X[2] = 1 + j \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 + (-j) \cdot (-1) = 1 - j - 1 + j = 0$

k = 3:

$X[3] = 1 \cdot e^{0} + j \cdot e^{-j \frac{3\pi}{2}} + (-1) \cdot e^{-j 3\pi} + (-j) \cdot e$

计算：

$e^{-j \frac{3\pi}{2}} = j$

$e^{-j 3\pi} = -1$

$e^{-j \frac{9\pi}{2}} = -j$
因此：

$X[3] = 1 + j \cdot j + (-1) \cdot (-1) + (-j) \cdot (-j) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$

因此， $X[k] = [0, 4, 0, 0]$ 。

验证 IDFT：
计算 $x[n]$ 从 $X[k]$ ：

$x[n] = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{3} X[k] \cdot e^{j \frac{\pi}{2} kn}$

n = 0:

$x[0] = \frac{1}{4} (0 \cdot e^{0} + 4 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{0} + 0 \cdot e^{0}) = \frac{1}{4} (0 + 4 + 0 + 0) = 1$

n = 1:

$x[1] = \frac{1}{4} (0 \cdot e^{0} + 4 \cdot e^{j \frac{\pi}{2}} + 0 \cdot e^{j \pi} + 0 \cdot e^{j \frac{3\pi}{2}}$

n = 2:

$x[2] = \frac{1}{4} (0 \cdot e^{0} + 4 \cdot e^{j \pi} + 0 \cdot e^{j 2\pi} + 0 \cdot e^{j 3\pi}$

n = 3:

$x[3] = \frac{1}{4} (0 \cdot e^{0} + 4 \cdot e^{j \frac{3\pi}{2}} + 0 \cdot e^{j 3\pi} + 0 \cdot e^{j \frac{9\pi}{2}}$

得到 $x[n] = [1, j, -1, -j]$ ，验证正确。