论文研读2-3：多GNSS双历元纯相位定位-定位精度分析
前序文章：
论文研读2-1：多GNSS双历元纯相位定位-模型建立与误差分析
论文研读2-2：多GNSS双历元纯相位定位-固定模糊度精度增益
5 模糊度固定的成功率
经过前边的分析，可以得知纯相位模型提供的浮点解基线解的可估计性很差，因此该模型可能不适用于快速精确定位。如果不能实现成功的模糊度解算，情况的确如此。整周模糊度解算成功与否的决定因素是正确整数估计的概率，即所谓的整周模糊度解算成功率( Teunissen 1999 )。最大可能的成功率，即整数最小二乘( ILS )成功率，由模糊度方差矩阵 Q a ^ a ^ Q_{\hat{a}\hat{a}} Qa^a^决定。假设相位测量值服从正态分布，ILS的成功率由多元积分给出:
success-rate = ∫ S 0 1 ∣ 2 π Q a ^ a ^ ∣ exp ( − 1 2 ∥ x ∥ Q a ^ 2 ) d x \begin{equation} \text { success-rate }=\int_{S_{0}} \frac{1}{\sqrt{\left|2 \pi Q_{\hat{a} \hat{a}}\right|}} \exp \left(-\frac{1}{2}\|x\|_{Q_{\hat{a}}}^{2}\right) d x \end{equation} success-rate =∫S0∣2πQa^a^∣1exp(−21∥x∥Qa^2)dx
其中积分区域 S 0 S_0 S0表达式如下：
S 0 = { x ∈ R f ( m − 1 ) ∣ ∥ x ∥ Q a ^ a ^ 2 ≤ ∥ x − z ∥ Q a ^ a ^ 2 , ∀ z ∈ Z f ( m − 1 ) } \begin{equation} S_{0}=\left\{x \in \mathbb{R}^{f(m-1)} \mid\|x\|_{Q_{\hat{a}\hat{a}}}^{2} \leq\|x-z\|_{Q_{\hat{a}\hat{a}}}^{2}, \forall z \in \mathbb{Z}^{f(m-1)}\right\} \end{equation} S0={x∈Rf(m−1)∣∥x∥Qa^a^2≤∥x−z∥Qa^a^2,∀z∈Zf(m−1)}
其中 ∥ ⋅ ∥ Q a ^ a ^ 2 \| \cdot\|_{Q_{\hat{a}\hat{a}}}^{2} ∥⋅∥Qa^a^2表示 ( ⋅ ) T Q a ^ a ^ − 1 ( ⋅ ) (\cdot)^T{Q_{\hat{a}\hat{a}}}^{-1}(\cdot) (⋅)TQa^a^−1(⋅)，如果熟悉LAMBDA算法的可以得知，解算整周模糊度只需要输入 Q a ^ a ^ Q_{\hat{a}\hat{a}} Qa^a^即可求解， Q a ^ a ^ Q_{\hat{a}\hat{a}} Qa^a^的表达式我们已经在前边求得：
Q a ^ a ^ = σ ϕ 2 [ Λ − 1 P e ⊥ Λ − 1 ⊗ W − 1 ] + 2 σ ϕ 2 [ Λ − 1 P e Λ − 1 ⊗ Q ρ ^ ρ ^ ] \begin{equation} Q_{\hat{a}\hat{a}}=\sigma_{\phi}^2 [\Lambda^{-1}\mathcal{P}_e^{\perp}\Lambda^{-1}\otimes W^{-1}] + 2\sigma_{\phi}^2[\Lambda^{-1}\mathcal{P}_e\Lambda^{-1}\otimes Q_{\hat{\rho}\hat{\rho}}] \end{equation} Qa^a^=σϕ2[Λ−1Pe⊥Λ−1⊗W−1]+2σϕ2[Λ−1PeΛ−1⊗Qρ^ρ^]
论文给出了模糊度解算成功率的表格，成功率与卫星数目，单双频和采样间隔有关：在相同频率下，卫星数目越多，采样间隔越长，成功率越高，且双频性能优于单频。
6 ADOP -分析
对于双历元纯相位模型，跟踪卫星数目的增加可以导致几乎100 %的模糊度成功率。同时对于高速率相位数据，这一点也是正确的。
在这一部分论文进一步研究了的模糊度解算强度，并给出了模型的模糊度解算性能与测量采样率之间的明确联系。为此，论文利用了ADOP。ADOP定义为：
ADOP = ∣ Q a ^ a ^ ∣ 1 f ( m − 1 ) ( cycle ) \begin{equation} \text { ADOP }=\sqrt{\left|Q_{\hat{a} \hat{a}}\right|^{\frac{1}{f(m-1)}}} \quad(\text { cycle }) \end{equation} ADOP =∣Qa^a^∣f(m−1)1( cycle )
从ADOP可以推导出模糊度解算成功率的一个上界( Teunissen 2000 )。ADOP越小，成功率的上界就越高。对于小于0.14个周期的ADOP，上界始终大于99 %。
6.1 单历元RTK ADOP
伪距相位联合定位RTK模型已经被广泛采用，并针对多个多GNSS场景，众多学者对其模糊度解算性能进行了研究。因此，重要的是要解决纯相位ADOP与相当成熟的RTK ADOP有多大的不同。
对于单历元伪距相位联合定位，其观测方程为：
{ E ( Δ ϕ 1 ) = [ Λ ⊗ I ] a + [ e ⊗ G 1 ] Δ b 1 E ( Δ p 1 ) = + [ e ⊗ G 1 ] Δ b 1 \begin{equation} \left\{\begin{array}{lr} E\left(\Delta \phi_{1}\right)=[\Lambda \otimes I] a &+ \left[e \otimes G_{1}\right] \Delta b_{1} \\ E\left(\Delta p_{1}\right)= & +\left[e \otimes G_{1}\right] \Delta b_{1} \end{array}\right. \end{equation} {E(Δϕ1)=[Λ⊗I]aE(Δp1)=+[e⊗G1]Δb1+[e⊗G1]Δb1
其中 Δ p 1 ∈ R f ( m − 1 ) \Delta p_{1} \in R^{f(m-1)} Δp1∈Rf(m−1)。
设正标量 ϵ \epsilon ϵ为相位-码方差比。双差码测量值$\Delta p_{1} 的方差矩阵等于将 的方差矩阵等于将 的方差矩阵等于将Q_{\phi_1 \phi_1} 除以 除以 除以\epsilon$。RTK模型的ADOP可以表示为( Odijk和Teunissen 2008):
ADOP R T K = 2 w o σ ϕ λ ˉ ( 1 + 1 ϵ ) 3 2 f ( m − 1 ) \begin{equation} \text { ADOP }^{\mathrm{RTK}}=\sqrt{2} w_{o} \frac{\sigma_{\phi}}{\bar{\lambda}}\left(1+\frac{1}{\epsilon}\right)^{\frac{3}{2 f(m-1)}} \end{equation} ADOP RTK=2woλˉσϕ(1+ϵ1)2f(m−1)3
其中， λ ˉ = ∏ j = 1 f λ j 1 j \bar{\lambda}=\prod_{j=1}^{f} \lambda_{j}^{\frac{1}{j}} λˉ=∏j=1fλjj1，且 w 0 = ( ∑ s = 1 m w s ∏ s = 1 m w s ) 1 2 ( m − 1 ) w_{0}=(\frac{\sum_{s=1}^{m} w_{s}}{\prod_{s=1}^{m} w_{s}})^{\frac{1}{2(m-1)}} w0=(∏s=1mws∑s=1mws)2(m−1)1 。
为方便理解，论文这里做了一些近似。对于与高度角相关的等权重 w s = 1 w^{s}=1 ws=1（ s = 1 , … , m s = 1, \ldots, m s=1,…,m ），项 2 w o \sqrt{2} w_{o} 2wo的上界为 2 。当前 GNSS 相位数据的精度约为其波长的 1% 。因此， ( σ ϕ / λ ˉ ) ≈ 0.01 (\sigma_{\phi} / \bar{\lambda}) ≈0.01 (σϕ/λˉ)≈0.01 。由于伪距数据的精度比相位数据低近两个数量级（即 ε ≈ 1 0 − 4 \varepsilon ≈10^{-4} ε≈10−4 ），项 ( 1 + 1 / ε ) (1 + 1 / \varepsilon) (1+1/ε)约为 1 0 4 10^{4} 104 。因此，我们得到如下近似：
A D O P R T K ≈ 0.02 × 10 0 3 f ( ω − 1 ) \begin{equation} ADOP^{RTK} \approx 0.02 × 100^{\frac{3}{f(\omega-1)}} \end{equation} ADOPRTK≈0.02×100f(ω−1)3
当跟踪7颗卫星（ m = 7 m=7 m=7）时，双频RTK的ADOP约为 0.02 × 10 0 1 4 ≈ 0.06 0.02×100^{\frac{1}{4}} \approx 0.06 0.02×10041≈0.06周，远小于0.14周。这表明，在不存在码多路径效应的情况下，双频RTK模型（13）能够实现单GNSS单历元的整周模糊度解算。
当 m = 7 m=7 m=7时，单频RTK的ADOP约为 0.02 × 10 0 1 2 ≈ 0.20 0.02×100^{\frac{1}{2}} \approx 0.20 0.02×10021≈0.20周。若卫星数量增加至 m = 13 m=13 m=13，单频ADOP可降至约0.06周。这也解释了为何采用单频RTK模型时，需借助多GNSS数据才能实现单历元模糊度的成功解算（Odolinski等，2015）。
6.2 双历元纯相位ADOP对比
论文接下来对比了双历元纯相位定位的动态和静态情况下的ADOP与RTK的对比。
设 A D O P KIN ADOP_{\text{KIN}} ADOPKIN和 A D O P STA ADOP_{\text{STA}} ADOPSTA分别为动态仅相位模型和静态仅相位模型对应的ADOP。这些 A D O P s ADOPs ADOPs与式（14）中的 A D O P RTK ADOP^{\text{RTK}} ADOPRTK的关系如下：
ADOP K I N ADOP R T K ≈ 1 2 ( ϵ ~ γ ‾ ) 3 2 f ( m − 1 ) ADOP S T A ADOP R T K ≈ 1 2 ( ∏ k = 1 3 ϵ ~ [ 1 + 4 α k τ 2 ] ) 1 2 f ( m − 1 ) ADOP K I N ADOP S T A ≈ ( 1 δ ) 3 2 f ( m − 1 ) \begin{equation} \begin{align*} \frac{\text { ADOP }^{\mathrm{KIN}}}{\text { ADOP }^{\mathrm{RTK}}} &\approx \frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde{\epsilon} \overline{\gamma})^{\frac{3}{2 f(m-1)}} \\ \frac{\text { ADOP }^{\mathrm{STA}}}{\text { ADOP }^{\mathrm{RTK}}} &\approx \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\prod_{k=1}^{3} \tilde{\epsilon}\left[1+\frac{4}{\alpha_{k} \tau^{2}}\right]\right)^{\frac{1}{2 f(m-1)}} \\ \frac{\text { ADOP }^{\mathrm{KIN}}}{\text { ADOP }^{\mathrm{STA}}} &\approx\left(\frac{1}{\delta}\right)^{\frac{3}{2 f(m-1)}} \end{align*} \end{equation} ADOP RTK ADOP KIN ADOP RTK ADOP STA ADOP STA ADOP KIN≈21(ϵ~γ)2f(m−1)3≈21(k=1∏3ϵ~[1+αkτ24])2f(m−1)1≈(δ1)2f(m−1)3
其中 ϵ ~ = ϵ / ( 1 + ϵ ) \tilde{\epsilon}=\epsilon/(1+\epsilon) ϵ~=ϵ/(1+ϵ)
如第一个表达式所示，ADOP与基线的平均精度增益紧密相关。平均精度增益 γ ˉ \bar{\gamma} γˉ越小， A D O P ADOP ADOP也越小（Teunissen 1997a）。另外需要注意前两个表达式中存在 1 / 2 1/\sqrt{2} 1/2因子，该因子表明在仅相位模型中使用两个历元的相位数据 Δ ϕ i ( i = 1 , 2 ) \Delta \phi_{i}(i=1,2) Δϕi(i=1,2)可降低相应的ADOP。
从第二个表达式，即静态仅相位模型的ADOP上。由于 α k \alpha_{k} αk的数量级为 1 0 − 8 H z 2 10^{-8} ~Hz^{2} 10−8 Hz2（论文图1），对于小值的 τ τ τ，第二个表达式可进一步近似为：
A D O P S T A A D O P R T K ≈ 1 2 ( 2 τ ϵ ~ α ) 3 ( m − 1 ) \begin{equation} \frac{ADOP^{STA}}{ADOP^{RTK}} \approx \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{2}{\tau} \sqrt{\frac{\tilde{\epsilon}}{\alpha}}\right)^{\frac{3}{(m-1)}} \end{equation} ADOPRTKADOPSTA≈21(τ2αϵ~)(m−1)3
当(\sqrt{\tilde{\epsilon}/\alpha} \approx 100)时，对于单频情况且卫星数量最少为7颗，当(\tau = 1)秒时，上述ADOP比值约为10。对于双频情况，该比值约降至2.7；而当卫星数量增加至(m=20)时，该比值可进一步降至仅1.1。
，对于单频情况且卫星数量最少为7颗，当(\tau = 1)秒时，上述ADOP比值约为10。对于双频情况，该比值约降至2.7；而当卫星数量增加至(m=20)时，该比值可进一步降至仅1.1。
以上基本就是本篇论文的所有理论内容，后续还有实验结果与讨论部分，感兴趣的朋友可以阅读原文A study on multi-GNSS phase-only positioning