《高等数学》（同济大学·第7版）第九章 多元函数微分法及其应用第二节偏导数

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同学们好！今天我们重点攻克高阶偏导数与混合偏导数的计算和应用。我会用最直观的例子和分步拆解，确保你彻底理解。如果中途有疑问，随时提出！

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一、核心概念回顾

1. 一阶偏导数

对二元函数 z = f(x, y)：

• 对 x 的偏导数：固定 y，求 z 随 x 的变化率。
  f_x = ∂z/∂x
• 对 y 的偏导数：固定 x，求 z 随 y 的变化率。
  f_y = ∂z/∂y

2. 二阶偏导数

对一阶偏导数再次求偏导，分为两种：

• 纯二阶偏导数：对同一变量连续求导。
  • ∂²z/∂x² = ∂/∂x (∂z/∂x)
  • ∂²z/∂y² = ∂/∂y (∂z/∂y)
• 混合二阶偏导数：对不同变量交替求导。
  • ∂²z/∂x∂y = ∂/∂x (∂z/∂y)
  • ∂²z/∂y∂x = ∂/∂y (∂z/∂x)

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二、典型例题解析（手把手拆解）

例1：验证函数 z = x²y + y³ 的混合偏导数相等

步骤1：求一阶偏导数

• 对 x 求偏导（y 视为常数）：
  f_x = 2xy
• 对 y 求偏导（x 视为常数）：
  f_y = x² + 3y²

步骤2：求混合偏导数

• 先对 x 再对 y：
  ∂²z/∂y∂x = ∂/∂y (2xy) = 2x
• 先对 y 再对 x：
  ∂²z/∂x∂y = ∂/∂x (x² + 3y²) = 2x

结论：∂²z/∂x∂y = ∂²z/∂y∂x = 2x，满足 Clairaut 定理。

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例2：验证函数 z = e^(xy) 的混合偏导数

步骤1：求一阶偏导数

• 对 x 求偏导：
  f_x = y e^(xy)
• 对 y 求偏导：
  f_y = x e^(xy)

步骤2：求混合偏导数

• 先对 x 再对 y：
  ∂²z/∂y∂x = ∂/∂y (y e^(xy)) = e^(xy) + xy e^(xy)
• 先对 y 再对 x：
  ∂²z/∂x∂y = ∂/∂x (x e^(xy)) = e^(xy) + xy e^(xy)

结论：混合偏导数相等，结果均为 e^(xy)(1 + xy)。

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三、为什么混合偏导数可能不相等？

反例：函数 f(x, y) = { xy (x² - y²)/(x² + y²), 当 (x,y) ≠ (0,0) ； 0, 当 (x,y)=(0,0) }

步骤1：计算一阶偏导数

• 在 (0,0) 处，用定义求偏导：
  f_x(0,0) = lim_(h→0) [f(h,0) - f(0,0)] / h = 0
  f_y(0,0) = lim_(k→0) [f(0,k) - f(0,0)] / k = 0

步骤2：计算混合偏导数

• 先对 x 再对 y：
  ∂²f/∂y∂x(0,0) = lim_(k→0) [f_x(0,k) - f_x(0,0)] / k = -1
• 先对 y 再对 x：
  ∂²f/∂x∂y(0,0) = lim_(h→0) [f_y(h,0) - f_y(0,0)] / h = 1

结论：混合偏导数不相等（-1 ≠ 1），因为函数在 (0,0) 处不连续。

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四、定理与应用

Clairaut 定理

条件：若函数 z = f(x, y) 的二阶混合偏导数在区域 D 内连续，则：
∂²z/∂x∂y = ∂²z/∂y∂x

应用场景：

1. 物理中的波动方程：声速计算需混合偏导数连续。
2. 工程优化：材料应力分析中，混合偏导数连续性保证解的唯一性。

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