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【偏微分方程】基本概念

news 2025/6/26 21:40:15

方程：含有未知量的等式称为方程

方程包括代数方程、函数方程、微分方程

微分方程包括常微分方程、偏微分方程

微分方程：含有参数、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程，例如 $F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$

微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶

一阶常微分方程的一般形式： $F(x,y,y')=0$

一阶常微分方程的标准形式： $\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}=f(x,y)$

对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组

微分方程的解：凡代入微分方程后使其成为恒等式的函数都称为该微分方程的解

微分方程的通解：若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该微分方程的通解

微分方程的特解：当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解称为方程的特解

定解问题：针对实际问题求出满足某种指定条件的解来，求这种解的问题称为定解问题

常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，例如 $\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}=f(x,y)$

偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程，例如 $F(x_1,x_2,...,x_n,u,u_{x_1},u_{x_2},...,u_{x_n},u_{x_1x_1},u_{x_1x_2},...)=0$ ,其中F是 $x_1,x_2,...x_n,u$ 及 $u$ 的有限多个偏导数的已知函数

Laplace方程 $\frac{\partial^2u }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$

常微分方程课程及理论研究的是少数特殊类型的常微分方程的共性

偏微分方程课程及理论研究的是少数特殊类型的偏微分方程的共性

线性方程的特征：叠加原理

线性偏微分方程：关于未知函数和未知函数的各阶偏导数是线性的

自由项：在线性偏微分方程中不含 $u$ 及它的偏导数的项

（存在唯一性定理）考虑带初值的一阶常微分方程 $\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=f(t,y)\\ y(t)|_{t=t_0}=y_0 \end{matrix}\right.$ ,其中函数 $f(t,y)$ 连续可微，设在矩形区域 $[t_0-a,t_0+a]\times [y_0-b,y_0+b]$ 上，若 $|f(t,y)|\leq M$ ,则在区间 $[t_0-h,t_0+h]$ 上方程的解存在且唯一，其中 $h=min\left \{ a,\frac{b}{M} \right \}$

存在唯一性定理的延伸：

1、条件放宽到 $f(t,y)$ 连续且关于y满足Lipschitz条件时仍然具有唯一性；

Lipschitz条件：（唯一性的充分不必要条件）

对于一个函数 $f(t,x)$ 如果对于点 $(t_0,x_0)$ 的某一邻域内的任意两点 $(t,x)$ 和 $(t,y)$ 满足不等式

$\left \| f(t,x)-f(t,y) \right \|\leq L\left \| x-y \right \|$

则称这个不等式是Lipschitz条件, $L$ 是Lipschitz常数， $f(t,x)$ 是关于 $x$ 的Lipschitz函数。

注1：上述不等式中， $\left \| \cdot \right \|$ 表示任意的p范数 ${\left \| x \right \|}_p=(|x_1|^{p}+|x_2|^{p}+...+|x_n|^{p})^{\frac{1}{p}},1\leq p<\infty$ , ${\left \| x \right \|}_\infty=max|x_i|$

注2:不同类型的范数不影响是否满足Lipschitz条件的判断，只影响Lipschitz常数的大小。

注3:Lipschitz常数 $L$ 不是唯一的。如果找到一个常数使得上述不等式成立，那么比这个数大的所有常数都可以使上述不等式成立，这些常数都是符合条件的利普希茨常数。

2、条件放宽到 $f(t,y)$ 关于 y 满足Osgood条件时仍然具有唯一性；

Osgood条件：（仍然是唯一性的充分不必要条件）

设 $f(t,y)$ 在区域 $G$ 内连续，如果对区域内任意的 $(t,y_1),(t,y_2)$ ，有

$|f(t,y_2)-f(t,y_2)|\leq F(|y_1-y_2|)$

其中 $F(r)>0$ 是 $r(r>0)$ 的连续函数，并且 $\int_{0}^{\varepsilon }\frac{1}{F(r)}dr=+\infty,\forall \varepsilon >0$ ,则称 $f(t,y)$ 对y 满足Osgood条件。