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功率器件的基本公式概念

news 2025/6/24 17:36:08

载流子输运与电阻
- 静电方程
- 载流子浓度与费米能级
- 电流密度方程
- 爱因斯坦关系式
- 连续性方程
- 电导率与电阻率
临界电场与击穿特性：碰撞电离系数
- 泊松方程
性能折衷与优值因子
- Baliga静态优值因子
- 藤平静态优值因子(Fujihira's Static Figure of Merit)
- 开关器件的总功率损耗
- Baliga动态优值因子
- Kim的动态品质因数
- Huang的动态品质因数

载流子输运与电阻

静电方程

著名的第一麦克斯韦方程组可表述为：
$\nabla \cdot D = \rho\left( x, y, z \right) \tag{1.1}$
其中D表示电通量密度，ρ为电荷密度。其简化形式即为高斯定律（又称泊松方程）：
$\frac{d^2\psi}{dx^2} = -\frac{dE}{dx} = -\frac{\rho}{\varepsilon_S} = \frac{q(n - p + N_A - N_D)}{\varepsilon_S} \tag{1.2}$
式中ψ、E、 $ε_S$ 、q分别代表电势、电场强度、材料介电常数和单位电荷量。n、p、 $N_A$ 、 $N_D$ 分别对应自由电子浓度、自由空穴浓度、电离受主浓度和电离施主浓度。

载流子浓度与费米能级

在本征半导体中，自由载流子浓度n可通过电子态密度N(E)与费米-狄拉克分布函数F(E)的乘积积分求得：
$\int_{E_{C\,m}}^{\infty} N(E)F(E)\:dE,\tag{1.3}$
其中 $E_{Cm}$ 表示导带底能量最小值。根据费米-狄拉克统计，载流子占据概率F(E)遵循如下关系式：
$\frac{1}{1 + \exp\left( \frac{E - E_F}{kT} \right)} \tag{1.4}$
其中 $E_F$ 为费米能级， k 为玻尔兹曼常数，T 为热力学温度。

将玻尔兹曼统计应用于式（1.4）并求解式（1.3），可得自由电子与空穴浓度方程：
$N_C \exp\left( -\frac{E_{C_m} - E_F}{kT} \right) \quad \text{或} \quad E_{C_m} - E_F = kT \ln\left( \frac{N_C}{n} \right) \tag{1.5}$
$N_V \exp\left( -\frac{E_F - E_{V_m}}{kT} \right) \quad \text{或} \quad E_F - E_{V_m} = kT \ln\left( \frac{N_V}{p} \right) \tag{1.6}$
式中：

$N_C$ 和 $N_V$ 分别为导带和价带的有效态密度（单位：cm $^{-3}$ ）
$E_{C_m}$ 和 $E_{V_m}$ 分别为导带底和价带顶的能量（单位：eV）

电流密度方程

电子电流密度 $J_n$ 和空穴电流密度 $J_p$ 由扩散电流与漂移电流叠加构成：
$J_n = q \mu_n n E + q D_n \frac{dn}{dx} \tag{1.7}$
$J_p = q \mu_p p E - q D_p \frac{dp}{dx} \tag{1.8}$
其中：

$\mu_n, \mu_p$ ：电子与空穴的迁移率（单位：cm $^2$ /(V·s)）
$D_n, D_p$ ：电子与空穴的扩散系数（单位：cm $^2$ /s）
E：电场强度（单位：V/cm）
负号表示空穴扩散电流方向与空穴漂移电流方向相反

总电流密度 $J_T$ 为电子与空穴电流密度之和：
$J_T = J_n + J_p \tag{1.9}$

爱因斯坦关系式

对于掺杂非均匀的n型或p型半导体，在无外加电压时总电流为零。通过改写方程（1.7）和（1.8）
$J_n = q\mu_n nE + qD_n\frac{dn}{dx} = 0 \tag{1.10}$
$J_p = q\mu_p pE - qD_p\frac{dp}{dx} = 0 \tag{1.11}$
将式（1.5）和（1.6）代入电流密度方程（1.7）与（1.8），通过求解可得扩散系数与迁移率的定量关系：
$D_n = \mu_n \frac{kT}{q} \tag{1.12}$
$D_p = \mu_p \frac{kT}{q} \tag{1.13}$
此即著名的爱因斯坦关系式，仅适用于非简并半导体。在室温（T=300 K）下，热电压kT/q的值为0.0259 V，且电子与空穴的迁移率（mobility）与其扩散系数（diffusivities）高度相关。例如，若载流子迁移率较高，其扩散系数也必然较高。因此，对于需要电子和空穴具有高扩散系数的双极型器件（如双极晶体管、IGBT等），采用高迁移率的半导体材料更有利于实现良好的导电性。正因如此，爱因斯坦关系式（Einstein relationships）被广泛应用于分析双极导电机制。需注意的是，载流子的扩散系数还与载流子寿命（carrier’s life times） $\tau_{n}$ 和 $\tau_{p}$ 、扩散长度（diffusion lengths）Ln和Lp直接相关，
$L_{n}=\sqrt{D_{n}\tau_{n}} \tag{1.14}$
$L_{p}=\sqrt{D_{p}\tau_{p}} \tag{1.15}$

连续性方程

方程(1.10)和(1.11)给出的电流密度方程仅适用于稳态条件。连续性方程则用于描述半导体中载流子在瞬态行为下的特性，适用于存在低注入水平、载流子产生与复合的场景。
$\begin{align*} \frac{\partial n}{\partial t} &= G_{n} - U_{n} + \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{n} ，\tag{1.16}\\ \frac{\partial p}{\partial t} &= G_{p} - U_{p} + \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{p} \tag{1.17} \end{align*}$
其中 $G_n$ 和 $G_p$ 分别是电子和空穴的产生率， $U_n$ 和 $U_p$ 分别是电子和空穴的复合率。将方程 (1.10) 与 (1.12) 代入方程 (1.16) 与 (1.17) 后，方程变为：
$\frac{\partial n_{p}}{\partial t} = G_{n} - \frac{n_{p} - n_{p0}}{\tau_{n}} + n_{p}\mu_{n}\frac{\partial E}{\partial x} + \mu_{n} E\frac{\partial n_{p}}{\partial x} + D_{n}\frac{\partial^{2}n_{p}}{\partial x^{2}} \tag{1.18}$
$\frac{\partial p_{n}}{\partial t} = G_{n} - \frac{p_{n} - p_{n0}}{\tau_{p}} + p_{n}\mu_{p}\frac{\partial E}{\partial x} - \mu_{p} E\frac{\partial p_{n}}{\partial x} + D_{p}\frac{\partial^{2}p_{n}}{\partial x^{2}} \tag{1.19}$
其中 $n_p$ 、 $p_n$ 、 $n_{p0}$ 和 $p_{n0}$ 分别表示 p 型半导体中的电子浓度、n 型半导体中的空穴浓度、p 型半导体中的初始电子浓度以及 n 型半导体中的初始空穴浓度。

电导率与电阻率

在均匀掺杂的 n 型或 p 型半导体中，导电仅由漂移电流贡献。漂移电流与材料参数 $\mu_n$ 和 $\mu_p$ 以及外加电场 $E$ 成正比，如方程 (1.10) 和 (1.11) 所示。因此， $\mu_n$ 和 $\mu_p$ 即成为该材料的电子电导率 $\sigma_n$ 和空穴电导率 $\sigma_p$ ，
$\begin{align} \sigma_{n} &= q n \mu_{n} \tag{1.20}\\ \sigma_{p} &= q p \mu_{p} \tag{1.21} \end{align}$
电子和空穴的电阻率， $\rho_n$ 和 $\rho_p$ ，分别是电导率的倒数形式。
$\begin{align} \rho_n &= \frac{1}{q\,n\,\mu_n}, \tag{1.22}\\ \rho_p &= \frac{1}{q\,p\,\mu_p} \tag{1.23} \end{align}$
n 型和 p 型半导体的电阻 $R_n$ 和 $R_p$ 分别与导电面积 $A$ 成反比，与长度 $L$ 成正比，
$\begin{align} R_n &= \frac{1}{q\,n\,\mu_n}\,\frac{L}{A} = \rho_n\,\frac{L}{A}, \tag{1.24}\\ R_p &= \frac{1}{q\,p\,\mu_p}\,\frac{L}{A} = \rho_p\,\frac{L}{A} \tag{1.25} \end{align}$
由于电阻随导电面积的增大而减小，在功率电子领域，为了评估器件性能，需要考察电阻与面积的乘积。分别将面积与电阻相乘，即可得到 n 型和 p 型器件的比导通电阻，记作 $R_{\text{sp.n}}$ 和 $R_{\text{sp.p}}$ ，
$\begin{align} R_{\mathrm{sp},n} &= \frac{L}{q n \mu_{n}} = \rho_{n} L，\tag{1.26} \\ R_{\mathrm{sp},p} &= \frac{L}{q p \mu_{p}} = \rho_{p} L \tag{1.27} \end{align}$

临界电场与击穿特性：碰撞电离系数

当自由载流子在电场作用下加速运动时，会与晶格原子发生持续碰撞，引发晶格散射。若载流子在足够强的电场（通常高于该材料饱和速度对应的电场强度）中获得超额能量，其与原子碰撞时将通过碰撞电离过程产生电子-空穴对。这些新生载流子被强电场进一步加速，最终导致雪崩击穿。雪崩击穿条件取决于碰撞电离系数。硅(Si)与4H-SiC材料的碰撞电离系数可分别通过Fulop模型(α_F)与Baliga模型(α_B)近似表征。
$\alpha_{F}(\mathrm{Si}) = 1.8 \times 10^{-35} E^{7} \tag{1.28}$
$\alpha_{B}(4H\text{-}\mathrm{SiC}) = 3.9 \times 10^{-42} E^{7} \tag{1.29}$

泊松方程

半导体中触发雪崩击穿的电场强度值称为临界电场(E_C)。该参数可通过碰撞电离系数结合一维P⁺/N结泊松方程求解获得。对于均匀掺杂的N型半导体，描述其电场分布的一维泊松方程见式(1.30)，
$\frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{d} x^{2}} = -\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} x} = -\frac{q N_{D}}{\varepsilon_{S}} \tag{1.30}$
其中，V 表示 P⁺/N 结两端维持的静电势，N_D 为 N 型半导体的掺杂浓度。通过求解方程 (1.13)，可导出电场强度与电势随距离变化的函数关系：
$-\frac{qN_{D}}{\varepsilon_{S}}(W_{D} - x) \tag{1.31}$
$-\frac{qN_{D}}{\varepsilon_{S}}\left(W_{D}x - \frac{x^{2}}{2}\right) \tag{1.32}$
在这里插入图片描述
P⁺/N结中电场强度与静电势随距离变化的分布示意图

通过施加边界条件 V(W_D)=V_A，可解得：结界面处最大电场强度 E(0)=E_M，耗尽区宽度 W_D
$W_{D} = \sqrt{\frac{2 \varepsilon_{S} V_{a}}{q N_{D}}} \tag{1.33}$
$E_{M} = \sqrt{\frac{2 q N_{D} V_{a}}{\varepsilon_{S}}} \tag{1.34}$
临界电场强度由碰撞电离系数的积分表达式确定，具体形式见方程(1.28)与(1.29)：
$\int_{0}^{W_{D}} \alpha dx = 1 \tag{1.35}$
根据Sze与Baliga的研究，硅(Si)和碳化硅(SiC)的临界电场强度与掺杂浓度N_D呈正比关系，该现象源于载流子与掺杂离子间增强的散射效应，
$E_C(\mathrm{Si}) = 4010 N_D^{1/8} \tag{1.36}$
$E_C(4H\text{-}\mathrm{SiC}) = 33000 N_D^{1/8} \tag{1.37}$
由方程(1.36)与(1.37)可导出硅(Si)和碳化硅(SiC)的击穿电压(V_B) 随掺杂浓度(N_D) 变化的函数关系：
$V_{B}(\mathrm{Si}) = 5.34 \times 10^{13} \, N_{D}^{-3/4} \tag{1.38}$
$V_{B}(4H\text{-}\mathrm{SiC}) = 3.0 \times 10^{15} \, N_{D}^{-3/4} \tag{1.39}$

性能折衷与优值因子

Baliga静态优值因子

联立比导通电阻方程(1.26)、耗尽区宽度方程(1.33)及临界电场方程(1.34)，可将比导通电阻 R_sp 表示为材料本征参数的函数
$R_{\mathrm{sp}} = \frac{4 V_{B}^{2}}{\varepsilon_{S} \mu_{n} E_{C}^{3}} \tag{1.40}$
方程(1.40)的分母定义为Baliga优值因子(BFOM)，该参数表征击穿电压平方(V_B²)与比导通电阻(R_sp)的比值关系。
$\mathrm{BFOM} = \varepsilon_{S} \, \mu_{n} \, E_{C}^{3} \tag{1.41}$
需特别指出：Baliga优值因子(BFOM) 仅适用于标准平面型功率MOSFET，而无法用于评估超级结(Superjunction)等先进功率器件。

藤平静态优值因子(Fujihira’s Static Figure of Merit)

对于具有柱区长度L的超级结功率MOSFET，其理想比导通电阻可表述为：
$R_{\mathrm{sp}} = \frac{2L}{q \mu_{n} N_{D}} \tag{1.42}$
方程(1.42)的推导基于对称超级结结构假设（即n型柱区与p型柱区宽度相等）。根据Fujihira的研究，超级结MOSFET的理想比导通电阻 R_sp 可表示为材料本征参数的函数：
$R_{\mathrm{sp}} = \frac{4 V_{B}}{\varepsilon_{S} \mu_{n} E_{C}^{2}} d \tag{1.43}$
其中 d 是超结金属氧化物半导体场效应晶体管（MOSFET）的元胞间距。该方程的问题是：超结 MOSFET 的比导通电阻可通过缩小元胞间距无限降低。方程 (1.43) 的分母被定义为藤平品质因数（Fujihira’s Figure of Merit, FFOM），
$\mathrm{FFOM} = \varepsilon_{S} \, \mu_{n} \, E_{C}^{2} \tag{1.44}$

开关器件的总功率损耗

如图所示，在硬开关应用中，器件总功率损耗包含四个分量：

导通损耗： $\cdot P_{\text{ON}}$
关断损耗： $\cdot P_{\text{OFF}}$
栅极驱动损耗： $P_{\text{GS}}$
开关损耗： $P_{\text{SW}}$
其中 $D$ 表示工作周期的占空比：
$P_{T} = D P_{\mathrm{ON}} + (1 - D) P_{\mathrm{OFF}} + P_{\mathrm{GS}} + P_{\mathrm{SW}} \tag{1.45}$

硬开关模式下功率器件的功率损耗

Baliga动态优值因子

功率MOSFET在开关应用中，导通电阻与开关损耗共同构成总功率损耗。1989年Baliga提出高频优值因子(BHFFOM)
$\mathrm{BHF}\;\mathrm{FOM} = \frac{1}{R_{\mathrm{sp}} \times C_{\mathrm{iss.sp}}} = f_{B} \tag{1.46}$
其中：

$C_{iss.sp}$ ：器件单位面积输入电容
$f_B$ ：Baliga特征频率上限
需注意的是，式(1.46)定义的BHFFOM未计入输出电容相关损耗。

Kim的动态品质因数

为解决BHFFOM的局限性，Kim提出了一种新的品质因数NHFFOM，该指标在开关过程中考虑了输出电容 $C_{oss.sp}$ 的影响。
$\mathrm{NHF\ FOM} = \frac{1}{R_{sp} \times C_{oss.sp}} \tag{1.47}$
方程（1.47）的局限性在于未纳入输入开关损耗 $P_{GS}$ 的影响。

Huang的动态品质因数

栅极-漏极电容（ $C_{GD}$ 或 $C_{rss}$ ）在充放电（关断与导通）过程中消耗的功率可间接视为开关功率损耗。尽管Huang提出的品质因数HDFOM考虑了其他电容分量（如 $C_{GS}$ 和 $C_{DS}$ ），但它为降低功率器件损耗提供了指导意义。
$\mathrm{HDFOM} = \frac{1}{R_{\mathrm{sp}} \times C_{\mathrm{rss},\mathrm{sp}}} \tag{1.48}$
然而，与Kim的品质因数类似，HDFOM也未纳入输入开关损耗 $P_{GS}$ 。目前仍缺乏一个全面的品质因数，能够通过方程（1.45）完整描述功率器件的总功率损耗。