【无刷电机FOC进阶基础准备】【04 clark变换、park变换、等幅值变换】
目录
- clark变换
- park变换
- 等幅值变换
其实我不太记得住什么是clark变换、park变换，我每次要用到这个名词的时候都会上网查一下，因为这就是两个名词而已，但是我能记住的是他们背后的含义。
经过【从零开始实现stm32无刷电机FOC】系列后应该对clark变换、park变换有了解了，本节对他们再介绍一遍，本节的重点是等幅值变换。
clark变换
本质是将abc相的数据投影到αβ轴上，如下图所示，αβ轴是静止的相互垂直的坐标轴。
{ α = a − b ∗ cos 60 ° − c ∗ cos 60 ° β = b ∗ cos 30 ° − c ∗ cos 30 ° \begin{cases} \alpha=a-b*\cos{60\degree}-c*\cos{60\degree} \\ \beta=b*\cos{30\degree}-c*\cos{30\degree} \end{cases} {α=a−b∗cos60°−c∗cos60°β=b∗cos30°−c∗cos30°
写成矩阵形式就是：
[ α β ] = [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ a b c ] \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} [αβ]=[10−2123−21−23] abc
其中的矩阵就是clark变换矩阵：
M c l a r k = [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] \mathrm{M}_{clark}= \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} Mclark=[10−2123−21−23]
clark逆变换就是将αβ轴的数据投影到abc相，如下图所示。
M i n c l a r k = [ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] \mathrm{M}_{inclark}= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} Minclark= 1−21−21023−23
park变换
本质是将αβ轴的数据投影到dq轴上，也可以看作αβ轴旋转到dq轴，如下图所示，dq轴是旋转的相互垂直的坐标系。
{ d = α ∗ cos θ + β ∗ sin θ q = − α ∗ sin θ + β ∗ cos θ \begin{cases} d=\alpha*\cos{\theta}+\beta*\sin{\theta} \\ q=-\alpha*\sin{\theta}+\beta*\cos{\theta} \end{cases} {d=α∗cosθ+β∗sinθq=−α∗sinθ+β∗cosθ
写成矩阵形式就是：
[ d q ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ α β ] \begin{bmatrix} d \\ q \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} [dq]=[cosθ−sinθsinθcosθ][αβ]
其中的矩阵就是park变换矩阵，这个矩阵就是一个旋转矩阵：
M p a r k = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] \mathrm{M}_{park}=\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} Mpark=[cosθ−sinθsinθcosθ]
park逆变换就是dq轴转到αβ轴，就是反向旋转，反向旋转矩阵直接求逆矩阵就可以了：
M i n p a r k = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] \mathrm{M}_{inpark}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} Minpark=[cosθsinθ−sinθcosθ]
[ α β ] = M i n p a r k [ d q ] \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}=\mathrm{M}_{inpark}\begin{bmatrix} d \\ q \end{bmatrix} [αβ]=Minpark[dq]
等幅值变换
在数学推导以及代码实现上，我们希望abc相坐标系、αβ轴、dq轴的最大坐标轴长度统一，各种数值能够缩放到单位量，如果最大电流是1A，最大电压是1V，这样能够方便推导和代码实现，等幅值变换就是为了这个效果。
park变换是旋转矩阵，旋转不会改变坐标轴长度，因此park变换不需要再加等幅值变换，或者说它天然就是等幅值变换。
分析一下clark变换对坐标轴长度的影响，假设abc相的mos管桥臂分别处于[1,0,0]开关状态，那么abc相电流分别为[1,- 1 2 \frac{1}{2} 21,- 1 2 \frac{1}{2} 21]，用clark变换进行计算一下：
[ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ 1 − 1 2 − 1 2 ] = [ 3 2 0 ] \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{2}\\ 0 \end{bmatrix} [10−2123−21−23] 1−21−21 =[230]
可以看到α轴的长度为 3 2 \frac{3}{2} 23，这意味着幅值为1的abc相坐标轴经过clark变换后得到的αβ轴幅值为 3 2 \frac{3}{2} 23。而我们想要最大幅值为单位长度1，因此如果在clark变换矩阵前再人为乘一个 2 3 \frac{2}{3} 32系数，那么αβ轴就在单位长度范围内了，如下所示：
2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ 1 − 1 2 − 1 2 ] = [ 1 0 ] \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} 32[10−2123−21−23] 1−21−21 =[10]
这个乘 2 3 \frac{2}{3} 32就是clark变换的等幅值变换，是指将abc相的幅值和αβ轴的幅值统一大小，方便推导和写代码。
这时候会有疑问，难道可以随便乘 2 3 \frac{2}{3} 32吗？是的，可以随便乘，如果你不嫌麻烦，你乘1万也行，因为最终用到的是αβ轴两者的比例关系，αβ轴的长度同时放大和缩小又有什么关系呢，最终体现在SVPWM内两个基础矢量的比例关系。
再来分析下clark逆变换，假设αβ轴长度分别是1,0，那么abc相的长度经过clark逆变换后会变成多少呢：
[ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] [ 1 0 ] = [ 1 − 1 2 − 1 2 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{bmatrix} 1−21−21023−23 [10]= 1−21−21
竟然直接变成了等幅值的abc相，这意味着clark逆变换不需要额外加等幅值系数，它天生就是等幅值变换的。这是为什么呢？我们可以将clark变换和clark逆变换直接乘一下：
[ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] = [ 3 2 0 0 3 2 ] \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{3}{2} &0 \\ 0 &\frac{3}{2} \end{bmatrix} [10−2123−21−23] 1−21−21023−23 =[230023]
我们直观地想，任何一个变换乘以其逆变换，结果当然要等于没变换，而经历一次clark正逆变换后，得到的长度是原先的 3 2 \frac{3}{2} 23倍，正好可以对应clark变换带来的 3 2 \frac{3}{2} 23倍以及clark逆变换带来的1倍。
只要保证任何一个变换乘以其逆变换，结果当然要等于没变换，矩阵前面的变换系数可以随便放置，比如等幅值变换全部放在clark变换前面，等功率变换分别放在clark变换和clark逆变换前面：
等幅值变换： 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] = [ 1 0 0 1 ] 等幅值变换：\frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix} 等幅值变换：32[10−2123−21−23] 1−21−21023−23 =[1001]
等功率变换： 2 3 [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] ∗ 2 3 [ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] = [ 1 0 0 1 ] 等功率变换：\sqrt\frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}*\sqrt\frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{bmatrix} 等功率变换：32[10−2123−21−23]∗32 1−21−21023−23 =[1001]