《高等数学》（同济大学·第7版）第六章 定积分的应用 第一节定积分的元素法
同学们好，今天我们来系统学习《高等数学》中定积分的应用这一核心内容。定积分的价值不仅在于计算曲边梯形面积或变速运动的路程，更重要的是它提供了一套通用的数学工具——通过“微元法”（元素法），可以将大量复杂的实际问题转化为积分计算。今天这一节，我们就重点掌握“定积分的元素法”，理解它的思想、步骤和典型应用。
一、从实际问题到微元法：思想溯源
在正式讲解微元法前，先回顾两个经典问题，它们是微元法的“思想源头”：
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曲边梯形的面积
已知曲线 y = f(x) 在区间 [a,b] 上非负连续，求它与 x 轴围成的曲边梯形面积 A。
定积分的定义是通过“分割-近似-求和-取极限”得到的：
A = lim(λ→0) Σ(i=1→n) f(ξi) Δxi = ∫(a→b) f(x) dx
这里的本质是：将区间 [a,b] 分割成许多小区间，在每个小区间 [x(i-1),xi] 上，用矩形面积 f(ξi) Δxi 近似小曲边梯形的面积，最后求和取极限。 -
变速直线运动的路程
物体以速度 v(t)（连续变化）沿直线运动，求从时刻 t=a 到 t=b 的路程 s。
同样用定积分定义：
s = lim(λ→0) Σ(i=1→n) v(ξi) Δti = ∫(a→b) v(t) dt
本质是用“匀速直线运动”的路程 v(ξi) Δti 近似“变速”过程的小段时间内的路程，再求和取极限。
共同特征
两个问题的解决都遵循以下逻辑：
- 分割：将整体（区间/时间）划分为无限小的局部（小区间/小时间段）；
- 近似：用局部上的“简单量”（矩形面积/匀速路程）近似“复杂量”（小曲边梯形面积/变速路程）；
- 求和取极限：将所有局部近似量相加，通过极限得到整体量。
微元法（元素法）正是对这一过程的简化与抽象，它跳过了显式的分割和取极限步骤，直接通过“微元”描述局部量的规律，最终通过积分得到整体结果。
二、微元法的严格定义与步骤
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微元法的本质
微元法的核心思想是：若整体量 U 与区间 [a,b] 上的函数 f(x) 有关，且 U 可分解为无数个“局部量”的和，则可以通过找到每个局部区间 [x,x+dx] 上的“微元” dU = f(x) dx，使得 U = ∫(a→b) dU。 -
微元法的步骤（以“平面图形面积”为例）
步骤1：确定积分变量，选取积分区间
首先明确问题中的“变化变量”。例如，若图形由曲线 y = f(x)、y = g(x) 及直线 x=a, x=b 围成，则选择 x 作为积分变量，积分区间为 [a,b]。
步骤2：构造微元（局部量的线性主部）
在积分区间 [a,b] 内任取一个小区间 [x,x+dx]（长度为 dx），考虑该小区间对应的局部图形（如图1中的小曲边梯形）。
若局部图形的面积 ΔA 可以近似为某个关于 x 的函数的线性主部（即当 dx → 0 时，高阶无穷小可忽略），则称这个线性主部为面积微元 dA。
例如，若在 [x,x+dx] 上，曲线高度由 f(x) 和 g(x) 决定（假设 f(x) ≥ g(x)），则局部面积 ΔA ≈ [f(x) - g(x)] dx，因此面积微元 dA = [f(x) - g(x)] dx。
步骤3：积分求和得到整体量
将所有局部微元 dU 在积分区间 [a,b] 上积分，即得整体量 U：
U = ∫(a→b) dU
三、微元法的关键：如何构造微元？
构造微元的核心是抓住局部量的主要部分，忽略高阶无穷小。这需要对问题的几何或物理意义有深刻理解。以下通过几类典型问题，说明微元法的具体应用。
类型1：平面图形的面积（直角坐标系）
问题：求由曲线 y = f(x)、y = g(x)（f(x) ≥ g(x) 在 [a,b] 上），直线 x=a 和 x=b 围成的平面图形的面积 A。
微元构造：
在区间 [x,x+dx] 上，图形的垂直高度为 f(x) - g(x)，因此水平方向的微小宽度 dx 对应的面积近似为矩形面积 (f(x)-g(x))dx。
面积微元 dA = [f(x) - g(x)] dx，总面积为：
A = ∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
例1：求由 y = x² 和 y = x 围成的图形的面积（x ∈ [0,1]）。
解：
- 交点：解 x² = x 得 x=0 和 x=1，故积分区间 [0,1]。
- 在 [x,x+dx] 上，y=x 在上方，y=x² 在下方，高度差为 x - x²。
- 面积微元 dA = (x - x²) dx。
- 总面积 A = ∫(0→1) (x - x²) dx = [(1/2)x² - (1/3)x³]|(0→1) = 1/2 - 1/3 = 1/6。
类型2：旋转体的体积（绕x轴旋转）
问题：由曲线 y = f(x)、直线 x=a, x=b 和 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周，求旋转体的体积 V。
微元构造：
取区间 [x,x+dx]，对应的图形是一个小曲边梯形。当它绕 x 轴旋转时，形成一个“薄圆盘”（或“圆柱壳”）。
薄圆盘的半径为 y = f(x)，厚度为 dx，因此体积近似为圆柱体积 π y² dx（底面积 π y² × 高 dx）。
体积微元 dV = π [f(x)]² dx，总体积为：
V = π ∫(a→b) [f(x)]² dx
例2：求 y = sin x 在 [0,π] 上绕 x 轴旋转的体积。
解：
- 体积微元 dV = π (sin x)² dx。
- 总体积 V = π ∫(0→π) sin² x dx = π · (π/2) = π²/2（利用 ∫(0→π) sin² x dx = π/2）。
类型3：变力做功
问题：物体在变力 F(x)（沿x轴方向）作用下，从 x=a 移动到 x=b，求力做的功 W。
微元构造：
在区间 [x,x+dx] 上，力 F(x) 可视为恒力（因为 dx 很小），因此微小位移 dx 对应的功近似为 F(x) dx。
功微元 dW = F(x) dx，总功为：
W = ∫(a→b) F(x) dx
例3：物体受变力 F(x) = kx（k 为常数）作用，从 x=0 移动到 x=a，求功。
解：
- 功微元 dW = kx dx。
- 总功 W = ∫(0→a) kx dx = (1/2) k a²（与弹性势能公式一致）。
类型4：液体的静压力
问题：一开口容器中盛有密度为 ρ 的液体，深度 h 处的水平截面积为 S(h)，求液体对容器底部的总压力 P。
微元构造：
在深度 h 处取一厚度为 dh 的水平液层，其面积为 S(h)，体积为 S(h) dh，重量为 ρ g S(h) dh（g 为重力加速度）。
该液层对底部的压力等于其重量（液体静压强与深度成正比），因此压力微元 dP = ρ g h S(h) dh（注意：压强 p = ρ g h，压力 dP = p · S(h) = ρ g h S(h) dh）。
总压力为：
P = ∫(0→H) ρ g h S(h) dh
（H 为液体总深度）
例4：一圆锥形容器，高 H，底面半径 R，装满水（密度 ρ），求水对底部的压力。
解：
- 深度 h 处的水平截面半径 r(h) = R · (H - h)/H（相似三角形），截面积 S(h) = π r(h)² = π R² [(H - h)/H]²。
- 压力微元 dP = ρ g h · π R² [(H - h)/H]² dh。
- 总压力 P = ρ g π R² / H² ∫(0→H) h (H - h)² dh。计算积分得 P = (1/12) ρ g π R² H³。
四、微元法的注意事项
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微元的合理性
微元的构造必须满足“当 dx → 0 时，微元与局部量的误差是高阶无穷小”。例如，曲边梯形的面积微元用矩形面积近似，是因为当 dx → 0 时，小曲边梯形与矩形的面积差是 o(dx)（高阶无穷小）。 -
积分变量的选择
选择积分变量时，应优先选择使微元表达式更简单的变量。例如，旋转体体积若绕y轴旋转，可能更适合用 y 作为积分变量（此时微元为 π [f⁻¹(y)]² dy）。 -
物理意义的对应
微元的物理意义必须与问题的实际背景一致。例如，变力做功的微元是力×位移，而静压力的微元是压强×面积，需严格区分。
五、总结：微元法的本质与价值
微元法是定积分应用的“万能钥匙”，其本质是将复杂问题无限细分，用线性主部近似局部量，再通过积分求和。它不仅适用于几何问题（面积、体积），还广泛用于物理（功、压力）、工程（质量、质心）等领域。
掌握微元法的关键在于：
- 理解“以直代曲”“以不变代变”的思想；
- 能根据具体问题构造正确的微元；
- 熟悉常见几何图形的微元表达式（如面积、体积、功等）。