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【支持向量机】SVM线性可分支持向量机学习算法——硬间隔最大化支持向量机及例题详解

news 2025/6/20 21:58:10

支特向量机(support vector machines, SVM)是一种二类分类模型。它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。包含线性可分支持向量机、线性支持向量机、非线性支持向量机。

当训练数据线性可分时，通过硬间隔最大化学习线性分类器，即为线性可分支持向量机，又称为硬间隔支持向量机。

线性可分支持向量机学习算法

输入：线性可分训练数据集 $T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_N,y_N)\}$ ，其中 $x_i\in$ ${\cal X}={\mathbf{R}}^{n}\:,\quad{\gamma_{i}}\in{\cal Y}=\{-1,+1\}\:,\quad i=1,2,\cdots,N\:;$

输出：最大间隔分离超平面和分类决策函数

1）构造并求解有约束最优化问题

$\begin{array}{ll}{\min_{w,b}}&{\frac{1}{2}\parallel w\parallel^{2}}\\{\mathrm{s.t.}}&{y_{i}(w{\bullet}x_{i}+b)-1\geqslant0,\quad i=1,2,\cdots,N}\\\end{array}.$

得到最优解 $w^{*},b^{*}$

在有约束的情况下最小化向量范数

2）代入最优解，

得到分离超平面：

$w^{*}\cdot x+b^{*}=0$

分类决策函数：

$f(x)=\mathrm{sign}(w^{*}\cdot x+b^{*})$

例

训练数据集：正例点 $x_{1}=(3,3)^{\mathrm{T}},\quad x_{2}=(4,3)^{\mathrm{T}}$ ，负例点 $x_{3}=(1,1)^{\mathrm{T}}$ ，求最大间隔分离超平面、分类决策函数和支持向量

解：

1）构造并求解有约束最优化问题

$\begin{aligned} &\operatorname*{min}_{w,b} \frac{1}{2}({w_{1}}^{2}+{w_{2}}^{2}) \\\\&\mathbf{s.t.} \\ &\mathbf{} 3w_{1}+3w_{2}+b\geqslant1 \\ &4w_{1}+3w_{2}+b\geqslant1 \\ &-w_{1}-w_{2}-b\geqslant1 \end{aligned}$