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voronoi图，凸壳，和早已遗忘的定不定积分

news 2025/6/19 21:42:49

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voronoi图的定义

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全部来源

1.Voronoi 图

https://dsa.cs.tsinghua.edu.cn/~deng/cg/project/2000f/2000f-g.pdf

2.Voronoi 图的理解 - taohuaxiaochunfeng - 博客园

博客园

3.Voronoi图(泰森多边形)-CSDN博客

https://blog.csdn.net/weixin_50273713/article/details/136517339

4.Voronoi图及相关第三方库概述-伙伴云

伙伴云

Voronoi图，又称泰森多边形或狄利克雷镶嵌，是一种基于离散点集的空间划分方法。以下从定义、性质、生成方法及应用四个方面对其进行详细说明。

1. 定义

Voronoi图是将空间划分为多个区域的一种方法，每个区域内的所有点到某个特定点（称为“生成点”或“站点”）的距离，都比到其他生成点的距离更近。这些区域被称为Voronoi单元（Cell），相邻单元之间的边界称为Voronoi边（Edge），而多个Voronoi边交汇的点称为Voronoi顶点（Vertex）。

形式化定义：

给定一个度量空间（M, d）和其中的一个离散点集S={s₁, s₂, …, sₙ}，对于任意一点sᵢ∈S，其对应的Voronoi区域V(sᵢ)定义为：

V(si)={P∈M∣d(P,si)≤d(P,sj) 对所有 j≠i}V(si)={P∈M∣d(P,si)≤d(P,sj) 对所有 j=i}

其中，d(P, sᵢ)表示点P到生成点sᵢ的距离

。

通俗解释：

例如，在一个城市中，假设有几家咖啡店，Voronoi图可以帮助我们找到每个地方最近的咖啡店。每个咖啡店都有自己的“势力范围”，在这个范围内居住的人到这家咖啡店的距离是最近的

。

2. 性质

Voronoi图具有以下基本性质：

Voronoi边：是相邻两个生成点连线的垂直平分线，边上的点到这两个生成点的距离相等。
Voronoi顶点：是距离三个或更多生成点相等的点。
单元形状：在欧氏平面上，Voronoi单元通常是凸多边形。
对偶性：Voronoi图与Delaunay三角剖分互为对偶结构，即每个Voronoi单元的顶点对应Delaunay三角剖分中三角形的外接圆圆心

3. 生成方法

Voronoi图的生成通常基于Delaunay三角剖分，其步骤如下：

构建Delaunay三角网：将生成点集划分为三角形，确保任意三角形的外接圆内不包含其他点。
计算外接圆圆心：每个三角形的外接圆圆心即为Voronoi图的顶点。
连接相邻顶点：连接相邻三角形的外接圆圆心，形成Voronoi边，从而构成Voronoi图

常用算法：

分治法：通过递归划分点集来生成Voronoi图。
扫描线算法：利用扫描线处理点集，生成Voronoi图。
Delaunay三角剖分算法：通过构建Delaunay三角网，再生成对偶的Voronoi图

4. 应用

Voronoi图因其高效的空间划分能力，在多个领域有广泛应用：

地理信息系统（GIS）：用于划分服务覆盖范围，如医院、学校或消防站的服务区域

。
机器人路径规划：通过Voronoi图找到避开障碍物的安全路径，或实现多目标路径规划
。
计算机图形学：生成自然纹理（如昆虫翅膀纹理）或地形建模
。
生物学与材料科学：模拟细胞结构、晶体生长等
。
无线通信：优化基站信号覆盖范围

总结

Voronoi图是一种强大的空间划分工具，其核心思想是通过距离最近原则将空间划分为多个区域。它不仅具有丰富的数学性质，还在多个实际场景中展现了广泛的应用价值。无论是理论研究还是实际应用，Voronoi图都提供了高效且直观的解决方案。

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z3-8，z4-2算法分别是

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全部来源

1.数据结构_1.基本概念_1.2什么是算法_在数据结构1,2-CSDN博客

https://blog.csdn.net/weixin_46304251/article/details/119410525

2.2_算法的概念(数据结构相关)_算法四大要求-CSDN博客

https://blog.csdn.net/m0_59086897/article/details/127255467

3.【算法原理和代码实战】德州扑克计算概率4-2法则原理(基于概率论和统计学的基本原理),详细计算步骤,具体算法代码实例。_德扑计算-CSDN博客

https://blog.csdn.net/universsky2015/article/details/131720991

4.ZUC(祖冲之)算法_zuc算法-CSDN博客

https://blog.csdn.net/MEGREZJQ/article/details/144060086

根据搜索结果，没有直接提到“z3-8”和“z4-2”算法的具体定义或描述。不过，根据搜索结果中提到的相关算法和概念，我们可以推测这两个算法可能与以下内容相关：

1. Z3 约束求解器

Z3 是微软研究院开发的一种高性能定理证明器，广泛用于程序验证、智能合约分析、优化问题等领域。它支持多种逻辑和约束求解，包括整数、布尔值、位向量等。Z3 通常用于解决约束条件下的数学问题，例如求解方程或验证程序的正确性

。

如果“z3-8”与 Z3 相关，可能指的是 Z3 在某种特定场景下的应用或约束求解问题，但具体含义需要更多上下文信息。

2. 4-2 法则

4-2 法则是一种在德州扑克中用于估算牌型概率的简便方法。其基本原理如下：

在德州扑克的前三张公共牌（翻牌圈）之后，如果你需要的牌有 n 张，那么你获得这种牌型的概率大约为 n × 4%。
在第四张公共牌（转牌圈）之后，如果你需要的牌有 n 张，那么你获得这种牌型的概率大约为 n × 2%

如果“z4-2”指的是 4-2 法则，可能是在某种特定场景下对概率的估算方法，但具体与“z”相关的含义仍需进一步澄清。

3. ZUC 算法

ZUC（祖冲之算法）是一种由我国自主研发的流密码算法，用于数据加密和完整性验证。ZUC 算法采用三层结构：线性反馈移位寄存器（LFSR）、比特重组（BR）和非线性函数 F，能够生成高熵的伪随机比特流，用于加密数据

。

如果“z3-8”或“z4-2”与 ZUC 算法相关，可能是指该算法的某种特定实现或参数，但具体细节仍需更多背景信息。

总结

由于搜索结果中没有直接提及“z3-8”和“z4-2”算法的定义，我们只能根据相关算法（如 Z3 约束求解器、4-2 法则、ZUC 算法）推测它们可能涉及的内容。如果您能提供更多上下文信息，我们可以进一步明确这些算法的具体含义。

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分部积分公式

分部积分公式是微积分中的一个重要工具，用于求解两个函数乘积的积分。其基本形式如下：

公式

∫u dv=uv−∫v du∫udv=uv−∫vdu

解释

变量选择：选择两个函数 uu 和 dvdv，其中 uu 是容易求导的函数，dvdv 是容易积分的函数。
求导与积分：计算 du=u′ dxdu=u′dx 和 v=∫dvv=∫dv。
代入公式：将 uu、vv、dudu 代入分部积分公式，简化积分表达式。

应用场景

分部积分常用于以下类型的积分：

对数函数、反三角函数的积分（如 ∫ln⁡x dx∫lnxdx）。
指数函数与三角函数的乘积（如 ∫exsin⁡x dx∫exsinxdx）。
多项式与指数/三角函数的乘积（如 ∫xex dx∫xexdx）。

示例

计算 ∫xcos⁡x dx∫xcosxdx：

设 u=xu=x（易求导），dv=cos⁡x dxdv=cosxdx（易积分）。
则 du=dxdu=dx，v=sin⁡xv=sinx。
代入公式：
∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C∫xcosxdx=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C

注意事项

选择 uu 和 dvdv 时，通常遵循“LIATE”规则（对数、反三角、代数、三角、指数函数优先选为 uu）。
对于循环积分（如 ∫exsin⁡x dx∫exsinxdx），可能需要多次分部积分后解方程。

分部积分是处理复杂积分问题的有效方法，通过合理选择变量和多次应用，可以简化计算过程。

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有上下线的分布积分公式和没有上下线的分布积分公式分别是

好的，我们来区分一下有上下限和无上下限情况下的分部积分公式。

分部积分公式本质上来源于乘积函数的微分法则。对于两个函数 u(x)u(x) 和 v(x)v(x)，有：

ddx(u(x)v(x))=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)dxd(u(x)v(x))=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

两边同时积分：

∫ddx(u(x)v(x)) dx=∫u′(x)v(x) dx+∫u(x)v′(x) dx∫dxd(u(x)v(x))dx=∫u′(x)v(x)dx+∫u(x)v′(x)dx

左边是 u(x)v(x)u(x)v(x) 的原函数，可以写成：

u(x)v(x)=∫v(x) du+∫u(x) dvu(x)v(x)=∫v(x)du+∫u(x)dv

（这里 du=u′(x)dxdu=u′(x)dx, dv=v′(x)dxdv=v′(x)dx）

整理得到不定积分（无上下限）的分部积分公式：

1. 没有上下限的分部积分公式（不定积分）：

∫u dv=uv−∫v du∫udv=uv−∫vdu

这个公式用于计算函数的原函数。应用这个公式后，通常还需要加上一个积分常数 CC。

对于有上下限的定积分，我们使用牛顿-莱布尼兹公式。将上面的微分结果在区间 [a,b][a,b] 上积分：

∫abddx(u(x)v(x)) dx=∫abu′(x)v(x) dx+∫abu(x)v′(x) dx∫abdxd(u(x)v(x))dx=∫abu′(x)v(x)dx+∫abu(x)v′(x)dx

左边根据牛顿-莱布尼兹公式，等于 u(x)v(x)u(x)v(x) 在 x=bx=b 和 x=ax=a 处的差值：

u(x)v(x)∣ab=∫abv(x) du+∫abu(x) dvu(x)v(x)∣ab=∫abv(x)du+∫abu(x)dv

整理得到定积分（有上下限）的分部积分公式：

2. 有上下限的分部积分公式（定积分）：

∫abu dv=uv∣ab−∫abv du∫abudv=uv∣ab−∫abvdu

或者写成：

∫abu dv=uv∣x=ax=b−∫abv du∫abudv=uv

x=ax=b−∫abvdu

这个公式用于计算函数在特定区间上的定积分值。这里的结果是一个具体的数值，不需要再加积分常数 CC。

总结：

无上下限（不定积分）： ∫u dv=uv−∫v du+C∫udv=uv−∫vdu+C （结果是一个函数族，含常数 CC）
有上下限（定积分）： ∫abu dv=uv∣ab−∫abv du∫abudv=uv∣ab−∫abvdu （结果是一个具体的数值）

定积分的分部积分公式比不定积分的版本多了一个边界项 uv∣abuv∣ab，这表示 u(x)v(x)u(x)v(x) 在积分上限 bb 和下限 aa 处的函数值之差。

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\delta_x u_i=什么

在数学和物理中，表达式 δxuiδxui 通常表示函数 uiui 关于变量 xx 的偏导数。具体含义取决于上下文，以下是几种常见解释：

1. 偏导数（最常见）

定义：如果 uiui 是一个关于多个变量的函数（如 ui=ui(x,y,z,… )ui=ui(x,y,z,…)），则 δxuiδxui 表示 uiui 对 xx 的偏导数：
δxui=∂ui∂xδxui=∂x∂ui
示例：若 ui(x,y)=x2y+3yui(x,y)=x2y+3y，则：
δxui=∂∂x(x2y+3y)=2xyδxui=∂x∂(x2y+3y)=2xy