傅里叶变换推导
基本模型
假设在二维直角坐标系中，可以用相互垂直的基向量
和
表示：
假设：
假设在
上的投影为
，那么：
所以：
用公式表达：
但是在实际中，基向量和
不一定长度都是1，重新推导一下：
假设：
那么：
两边乘以：
分子部分其实就是求在
上的投影与
的乘积，所以：
带入数据：
大功告成。
结论：
从二维到无限维
二维模型如下：
| 向量 | 维度1的投影 | 维度2的投影 |
| 2 | 3 | |
| 1 | 0 | |
| 0 | 1 |
扩展到三维：
| 向量 | 维度1的投影 | 维度2的投影 | 维度3的投影 |
| c1 | c2 | c3 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 |
可以看到，有多少个维度就要有多少个基向量，每个基向量的维度和
相等。
扩展到无限维：
| 向量 | 维度1的投影 | 维度2的投影 | 维度3的投影 | 维度n的投影 |
| c1 | c2 | c3 | cn | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
把函数当成无限维向量
把函数的t当成无限维，它的值分布在各自的维度上：
| 函数 | ||||
于是：
这里有个容易让人困惑的点：
前面的各个基向量都是这样的：
| 向量 | 维度1的投影 | 维度2的投影 | 维度3的投影 | 维度n的投影 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
每个向量只在自己的维度有值，在别的维度为0。
那现在的函数在别的维度上等于0吗？
不一定，但是没错。
首先各个维度的基向量是正交（垂直）的，比如：
这里的函数其实也是正交的：
两边乘以：
在傅里叶变换中：
各个基函数=
其中是步长的意思，任你选取，n=1,2,...
总的意思就是f(t)可以表示成很多正交的、不同频率（一个频率就是一个维度）的三角函数之和。
可以证明：
与
正交，
与
正交。
于是：
好了，已知了，
怎么求？
由前面的公式：
可以推导出：
套用之前两边乘以dt的方法：
带入，
：
这便是傅里叶级数了。
其它
各个基函数必须是两两正交的，不然所有推导都是错的。
好多资料说两个函数的正交等于它们的内积：
但是由向量的点积推出来应该是这样才对：
可这样也是不对的，不存在这种操作。在我的推导中用了这个等式，但是我分子分母约掉dt了，所以避开了。