数值分析—非线性方程的数值解
研究背景
形如 x − t a n x = 0 x-tanx=0 x−tanx=0、 x l n x + e − x 2 + s i n x = 0 xlnx+e^{-x^2}+sinx=0 xlnx+e−x2+sinx=0等称为非线性方程，自变量之间并非简单的线性关系，这种问题我们无法通过其结构求解，需要其他的逼近方式，本章将基于该问题介绍两种方法——二分法，迭代法。
二分法
预备知识
零点定理：
若 f ( x ) ∈ [ a , b ] f(x)\in[a,b] f(x)∈[a,b]且 f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 f(a)f(b)<0，则 f ( x ) f(x) f(x)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内至少有一个零点，若 f ( x ) f(x) f(x)为单调函数，则 f ( x ) f(x) f(x)有唯一零点。
重根判别方法：
设 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x有n阶导数，则 x x x为 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的m重根的充要条件为：
f ( x ) = f ′ ( x ) = f m − 1 ( x ) = 0 且 f m ( x ) ! = 0 f(x)=f'(x)=f^{m-1}(x)=0且f^m(x)!=0 f(x)=f′(x)=fm−1(x)=0且fm(x)!=0。
求实根的二分法
基本思想为：
将有根区间一分为二，等分为两个区间，判断根再哪一个更小的区间，舍去无根的小区间，再把有根的小区间等分，如此重复，直到找到满足精度的近似根。
算法流程：
取终点 x 0 = a + b 2 x_0=\frac{a+b}{2} x0=2a+b，若 f ( x 0 ) = 0 , x 0 f(x_0)=0,x_0 f(x0)=0,x0为所求，否则计算 f ( a ) f ( x 0 ) f(a)f(x_0) f(a)f(x0)的符号， > 0 >0 >0取区间 [ x 0 , b ] [x_0,b] [x0,b]， < 0 <0 <0取 [ a , x 0 ] [a,x_0] [a,x0]，重复上述过程，无穷多次后即为精确解 lim k → ∞ x k = x \lim_{k \to \infty}x_k=x limk→∞xk=x，但计算中不可能迭代无穷多次，也不可能得知精确解，故一般采用前后两次迭代逼近的程度来衡量， ∣ x k − x k − 1 ∣ ≤ b k − a k 2 = b − a 2 k + 1 |x_k-x_{k-1}|\le\frac{b_k-a_k}{2}=\frac{b-a}{2^{k+1}} ∣xk−xk−1∣≤2bk−ak=2k+1b−a，取精度 b − a 2 k + 1 < ε \frac{b-a}{2^{k+1}}<\varepsilon 2k+1b−a<ε，迭代步数为 k > l n ( b − a ) − l n 2 ε l n 2 k>\frac{ln(b-a)-ln2\varepsilon}{ln2} k>ln2ln(b−a)−ln2ε
例题：二分法求 f ( x ) = x 2 − x − 1 = 0 f(x)=x^2-x-1=0 f(x)=x2−x−1=0的正根，要求误差不超过0.05。
解：
设 f ( x ) = x 2 − x − 1 , f ( 1 ) = − 1 < 0 , f ( 2 ) = 1 > 0 f(x)=x^2-x-1,f(1)=-1<0,f(2)=1>0 f(x)=x2−x−1,f(1)=−1<0,f(2)=1>0，故有根区间为 [ − 1 , 2 ] [-1,2] [−1,2]，该函数在区间内单调， k > − l n 0.1 l n 2 = 10 l n 2 = 3.3 k>\frac{-ln0.1}{ln2}=\frac{10}{ln2}=3.3 k>ln2−ln0.1=ln210=3.3，取步长k=4，求其根表示为：
| k | a k a_k ak | b k b_k bk | x k x_k xk | f(x)符号 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 1.5 | - |
| 1 | 1.5 | 2 | 1.75 | + |
| 2 | 1.5 | 1.75 | 1.625 | + |
| 3 | 1.5 | 1.625 | 1.5625 | - |
| 4 | 1.5625 | 1.625 | 1.59375 |
答：根为1.59375。
该方法实现简单，普及性高，对方程只要求其连续即可，但收敛速度缓慢，下面介绍一种加速收敛的方法—迭代法。
迭代法
基本思想
f ( x ) = 0 < = > x = g ( x ) f(x)=0<=>x=g(x) f(x)=0<=>x=g(x)， g ( x ) g(x) g(x)为迭代函数， x k + 1 = g ( x k ) x_{k+1}=g(x_k) xk+1=g(xk)，给定 x 0 x_0 x0可计算 x 1 . . . . x n x_1....x_n x1....xn，若该数列收敛，则称迭代法 x k + 1 = g ( x k ) x_{k+1}=g(x_k) xk+1=g(xk)收敛，否则发散。
若 x ∗ x^* x∗满足 x ∗ = g ( x ∗ ) x^*=g(x^*) x∗=g(x∗)则称 x ∗ x^* x∗为 g ( x ) g(x) g(x)的不动点。
若 lim k → ∞ x k = x ∗ ， g ( x ) \lim_{k \to \infty}x_k=x^*，g(x) limk→∞xk=x∗，g(x)连续， x ∗ = lim k → ∞ x k + 1 = lim k → ∞ g ( x k ) = g ( lim k → ∞ x k ) = g ( x ∗ ) x^*=\lim_{k \to \infty}x_{k+1}=\lim_{k \to \infty}g(x_k)=g(\lim_{k \to \infty}x_k)=g(x^*) x∗=limk→∞xk+1=limk→∞g(xk)=g(limk→∞xk)=g(x∗)
该过程重点在于：
1，如果构造 g ( x ) g(x) g(x)
2， g ( x ) g(x) g(x)满足何种条件能保证数列 x n {x_n} xn收敛
3，收敛速度如何衡量
该方法的几何意义为以直代曲，用切线零点代替曲线零点，不断逼近坐标轴的过程。
迭代格式的适定性与收敛性
定义：如果 x 0 ∈ [ a , b ] x_0\in[a,b] x0∈[a,b]，若按 x k + 1 = g ( x k ) x_{k+1}=g(x_k) xk+1=g(xk)生成的序列 x k ∈ [ a , b ] {x_k}\in[a,b] xk∈[a,b]，则称迭代格式是适定的，适定性是迭代格式能够继续下去的重要条件。
例如：求 x e x − 1 = 0 xe^{x}-1=0 xex−1=0在 x = 0.5 x=0.5 x=0.5附近的根。
解: x = e − x x=e^{-x} x=e−x，构造迭代格式 x k + 1 = e − x k , x 0 = 0.5 x_{k+1}=e^{-x_k},x_0=0.5 xk+1=e−xk,x0=0.5,可继续迭代
e x = 1 x , x = − l n x e^x=\frac{1}{x},x=-lnx ex=x1,x=−lnx，构造 x k + 1 = − l n x k , x 0 = 0.5 , x 4 < 0 x_{k+1}=-lnx_k,x_0=0.5,x_4<0 xk+1=−lnxk,x0=0.5,x4<0时终止
定理一：设 g ( x ) ∈ [ a , b ] g(x)\in[a,b] g(x)∈[a,b]，且满足如下条件：
1,任意 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]，总有 g ( x ) ∈ [ a , b ] g(x)\in[a,b] g(x)∈[a,b]
2,存在 L ∈ [ 0 , 1 ] , 使 ∣ g ( x ) − g ( y ) ∣ ≤ L ∣ x − y ∣ ， x ， y 为 [ a , b ] 内的任意数 L\in[0,1],使|g(x)-g(y)|\le L|x-y|，x，y为[a,b]内的任意数 L∈[0,1],使∣g(x)−g(y)∣≤L∣x−y∣，x，y为[a,b]内的任意数
则 g ( x ) g(x) g(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上存在唯一不动点 x ∗ x^* x∗对任意 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]迭代法适定且收敛，但该条件很不好证明，故多采用定义二。
定理二：若 g ( x ) ∈ [ a , b ] g(x)\in[a,b] g(x)∈[a,b]且满足如下条件：
1，任意 x ∈ [ a , b ] ，有 g ( x ) ≤ [ a , b ] x\in[a,b]，有g(x)\le[a,b] x∈[a,b]，有g(x)≤[a,b]
2，存在 0 ≤ L ≤ 1 ，使对任意 x ∈ [ a , b ] 有 ∣ g ′ ( x ) ∣ ≤ L 0\le L\le1，使对任意x\in[a,b]有|g'(x)|\le L 0≤L≤1，使对任意x∈[a,b]有∣g′(x)∣≤L，该定理用导数代替了验证过程。
则 x k + 1 = g ( x k ) ≤ L k 1 − L ∣ x − x 0 ∣ x_{k+1}=g(x_k)\le\frac{L^k}{1-L}|x-x_0| xk+1=g(xk)≤1−LLk∣x−x0∣
注：
1，不等式为停机标准， ∣ x k + 1 − x k ∣ < ε |x_{k+1}-x_k|<\varepsilon ∣xk+1−xk∣<ε时， ∣ x ∗ − x k ∣ ≤ ε 1 − L |x^*-x^k|\le\frac{\varepsilon}{1-L} ∣x∗−xk∣≤1−Lε
2，先验估计，用于估计达到 ε \varepsilon ε精度所需迭代的步数为
L k 1 − L ∣ x 1 − x 0 ∣ < ε \frac{L^k}{1-L}|x_1-x_0|<\varepsilon 1−LLk∣x1−x0∣<ε，从而 k > l n ( − ( 1 − L ) ε ( x 1 − x 0 ) ) l n L k>\frac{ln(\frac{-(1-L)\varepsilon }{(x_1-x_0)})}{lnL} k>lnLln((x1−x0)−(1−L)ε)
3，L越小收敛速度越快。
局部收敛性与收敛阶
定义： x ∗ 为 g ( x ) x^*为g(x) x∗为g(x)的不动点，对 δ > 0 , 称 N ( x ∗ , δ ) = [ x ∗ − δ , x ∗ + δ ] \delta>0,称N(x^*,\delta)=[x^*-\delta,x^*+\delta] δ>0,称N(x∗,δ)=[x∗−δ,x∗+δ]为 x ∗ x^* x∗的一个邻域，若存在一个邻域使对任意 x ∈ N ( x ∗ , δ ) x\in N(x^*,\delta) x∈N(x∗,δ)按 x k + 1 = g ( x k ) x_{k+1}=g(x_k) xk+1=g(xk)生成的 x k ∈ N ( x ∗ , δ ) {x_k}\in N(x^*,\delta) xk∈N(x∗,δ)且 lim x → ∞ x k = x ∗ \lim_{x \to \infty}x_k=x^* limx→∞xk=x∗，则称迭代格式具有迭代收敛性。
即在邻域内无穷次迭代后能获得精确解。
定理一：设 g ( x ) 在 x = g ( x ) g(x)在x=g(x) g(x)在x=g(x)的根 x ∗ x^* x∗邻域内有连续的一阶导数，且 ∣ g ′ ( x ∗ ) ∣ < 1 |g'(x^*)|<1 ∣g′(x∗)∣<1，迭代法具有局部收敛性。
注：实际使用时往往用 ∣ g ′ ( x 0 ) ∣ < 1 |g'(x_0)|<1 ∣g′(x0)∣<1代替
n阶导数<1收敛，则收敛阶为n。
例题：迭代函数 g ( x ) = x + c ( x 2 − 3 ) g(x)=x+c(x^2-3) g(x)=x+c(x2−3)，讨论1，写出迭代格式，产生 k {k} k收敛于 3 \sqrt{3} 3，问c应为何值？2，c为何值时收敛速度最快？
解：1，迭代格式 x k + 1 = g ( x k ) = x k + c ( x k 2 − 3 ) ， g ′ ( x ) = 1 + 2 c x ， ∣ g ′ ( 3 ) ∣ = ∣ 1 + 2 3 c ∣ < 1 = > − 3 2 < c < 0 x_{k+1}=g(x_k)=x_k+c(x_k^2-3)，g'(x)=1+2cx，|g'(\sqrt{3})|=|1+2\sqrt{3}c|<1=>-\frac{\sqrt{3}}{2}<c<0 xk+1=g(xk)=xk+c(xk2−3)，g′(x)=1+2cx，∣g′(3)∣=∣1+23c∣<1=>−23<c<0
2， g ′ ( 3 ) = 0 , 1 + 2 3 c = 0 , c = − 3 6 g'(\sqrt{3})=0,1+2\sqrt{3}c=0,c=-\frac{\sqrt{3}}{6} g′(3)=0,1+23c=0,c=−63收敛最快
Newton迭代法
基本思想：满足一般理论的特殊迭代法， f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0先假设 x k x_k xk为 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的近似根， f ′ ( x k ) ! = 0 f'(x_k)!=0 f′(xk)!=0，将 f ( x ) f(x) f(x)在 x k x_k xk处作Taylor展开， f ( x ) ≈ f ( x k ) + f ′ ( x k ) ( x − x k ) + f ′ ′ ( ξ ) 2 ! ( x − x k ) 2 f(x)\approx f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k)+\frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_k)^2 f(x)≈f(xk)+f′(xk)(x−xk)+2!f′′(ξ)(x−xk)2，舍去余项后 f ( x ) ≈ f ( x k ) + f ′ ( x k ) ( x − x k ) f(x)\approx f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k) f(x)≈f(xk)+f′(xk)(x−xk)， f ( x k ) + f ′ ( x k ) ( x − x k ) = 0 f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k)=0 f(xk)+f′(xk)(x−xk)=0，故 x = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) x=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} x=xk−f′(xk)f(xk)，不动点带入获得迭代函数 g ( x ) = x − f ( x ) f ′ ( x ) g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)} g(x)=x−f′(x)f(x)。
该方法的几何意义是以直代曲，沿曲线方向不断作切线，和x轴的交点作为下一次切线起点，形成一个不断逼近 x ∗ x^* x∗的数列。
例题：Newton迭代法求 f ( x ) = x 3 + 2 x − 6 f(x)=x^3+2x-6 f(x)=x3+2x−6在1.5附近的根。
解： f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 f'(x)=3x^2+2 f′(x)=3x2+2，Newton迭代公式 x k + 1 = x k − x k 3 + 2 x k − 6 3 x k 2 + 2 x_{k+1}=x_k-\frac{x_k^3+2x_k-6}{3x_k^2+2} xk+1=xk−3xk2+2xk3+2xk−6，取 x 0 = 1.5 x_0=1.5 x0=1.5迭代运算， x 1 = 1.4571429 ， x 2 = 1.4561647 x_1=1.4571429，x_2=1.4561647 x1=1.4571429，x2=1.4561647
可以看到Newton迭代法的收敛速度还是比较快的。
Newton迭代法的收敛性与收敛阶
局部收敛性定理：
设 x ∗ x^* x∗为 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的单根，即 f ( x ∗ ) = 0 , f ′ ( x ∗ ) ! = 0 f(x^*)=0,f'(x^*)!=0 f(x∗)=0,f′(x∗)!=0，则Newton迭代格式 x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} xk+1=xk−f′(xk)f(xk)至少二阶收敛。
非局部收敛性定理：
设 f ( x ) ∈ c 2 [ a , b ] f(x)\in c^2[a,b] f(x)∈c2[a,b]且满足如下条件：
1， f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 f(a)f(b)<0
2， f ′ ( x ) ! = 0 , 任意 x ∈ [ a , b ] f'(x)!=0,任意x\in [a,b] f′(x)!=0,任意x∈[a,b]
3， x ∈ [ a , b ] 时，有 f ′ ( x ) 不变号 x\in[a,b]时，有f'(x)不变号 x∈[a,b]时，有f′(x)不变号
4， 任意 x 0 ∈ [ a , b ] , 使 f ( x 0 ) f ′ ′ ( x 0 ) > 0 任意x_0\in[a,b],使f(x_0)f''(x_0)>0 任意x0∈[a,b],使f(x0)f′′(x0)>0
则由Newton迭代格式确定的 x k {x_k} xk收敛于 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0在 [ a , b ] [a,b] [a,b]有唯一根 x ∗ x^* x∗
简化后的Newton法：
该迭代法主要的计算量来自导数，故简化后采用 x k + 1 = x − f ( x ) C x_{k+1}=x-\frac{f(x)}{C} xk+1=x−Cf(x)用常数C代替之， C = f ′ ( x 0 ) C=f'(x_0) C=f′(x0)，该方法使用固定点的导数作为常数来代替后续导数计算，固然简化了计算，但收敛速度也随之下降。
求重根的Newton法
设 x ∗ x^* x∗为 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的重根， f ( x ∗ ) = f ′ ( x ∗ ) = . . . = f n + 1 ( x ∗ ) = 0 f(x^*)=f'(x^*)=...=f^{n+1}(x^*)=0 f(x∗)=f′(x∗)=...=fn+1(x∗)=0且 f n ( x ∗ ) ! = 0 f^n(x^*)!=0 fn(x∗)!=0， f ( x ) = ( x − x ∗ ) A ( x ) f(x)=(x-x^*)A(x) f(x)=(x−x∗)A(x)，显然 A ( x ∗ ) ! = 0 A(x^*)!=0 A(x∗)!=0。
Newton迭代法 x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) ， g ( x ) = x − f ( x ) f ′ ( x ) ， g ′ ( x ∗ ) < 1 x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}，g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}，g'(x^*)<1 xk+1=xk−f′(xk)f(xk)，g(x)=x−f′(x)f(x)，g′(x∗)<1收敛， g ′ ( x ) = f ( x ) f ′ ′ ( x ) [ f ′ ( x ) ] 2 g'(x)=\frac{f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2} g′(x)=[f′(x)]2f(x)f′′(x)，故 g ′ ( x ∗ ) = f ( x ∗ ) f ′ ′ ( x ∗ ) [ f ′ ( x ∗ ) ] 2 = lim x → x ∗ g ( x ) − g ( x ∗ ) x − x ∗ g'(x^*)=\frac{f(x^*)f''(x^*)}{[f'(x^*)]^2}=\lim_{x\to x^* \frac{g(x)-g(x^*)}{x-x^*}} g′(x∗)=[f′(x∗)]2f(x∗)f′′(x∗)=limx→x∗x−x∗g(x)−g(x∗)，最后很复杂，一同操作后得证 g ′ ( x ∗ ) = 1 − 1 m g'(x^*)=1-\frac{1}{m} g′(x∗)=1−m1
例题： x 3 − 3 x 2 + 4 = 0 x^3-3x^2+4=0 x3−3x2+4=0，试用Newton迭代法求 x ∗ = 2 x^*=2 x∗=2，并证明收敛性，求收敛阶。
解： f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 4 ， f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x ， x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) = x k − x k 3 − 3 x k 2 + 4 3 x k 2 − 6 x k f(x)=x^3-3x^2+4，f'(x)=3x^2-6x，x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}=x_k-\frac{x_k^3-3x_k^2+4}{3x_k^2-6x_k} f(x)=x3−3x2+4，f′(x)=3x2−6x，xk+1=xk−f′(xk)f(xk)=xk−3xk2−6xkxk3−3xk2+4，则 g ( x ) = x − x 3 − 3 x 2 + 4 3 x 2 − 6 x g(x)=x-\frac{x^3-3x^2+4}{3x^2-6x} g(x)=x−3x2−6xx3−3x2+4，若 ∣ g ′ ( 2 ) ∣ < 1 |g'(2)|<1 ∣g′(2)∣<1收敛， x ∗ = 2 x^*=2 x∗=2为 f ( x ) f(x) f(x)的二重根，根据 1 − 1 m = > ∣ g ′ ( 2 ) ∣ = 1 2 < 1 1-\frac{1}{m}=>|g'(2)|=\frac{1}{2}<1 1−m1=>∣g′(2)∣=21<1故收敛且线性收敛。
Newton法改进
1， f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的重根 x ∗ x^* x∗的重数m已知，则可得到 x k + 1 = x k − m f ( x k ) f ′ ( x k ) ， g ( x ) = x − m f ( x ) f ′ ( x ) ， g ′ ( x ∗ ) = 1 − m 1 m = 0 x_{k+1}=x_k-m\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}，g(x)=x-m\frac{f(x)}{f'(x)}，g'(x^*)=1-m\frac{1}{m}=0 xk+1=xk−mf′(xk)f(xk)，g(x)=x−mf′(x)f(x)，g′(x∗)=1−mm1=0，故至少平方收敛。
2， f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的重根 x ∗ x^* x∗的重数m未知，令 u ( x ) = f ( x ) f ′ ( x ) u(x)=\frac{f(x)}{f'(x)} u(x)=f′(x)f(x)，若 x ∗ x^* x∗为 f ( x ) f(x) f(x)的m重根， x ∗ x^* x∗为 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)的m-1重根， x ∗ x^* x∗必为 u ( x ) u(x) u(x)的单根，只需构造 u ( x ) = 0 u(x)=0 u(x)=0的单根Newton法， x k + 1 = x k − u ( x k ) u ′ ( x k ) , u ′ ( x ) = [ f ′ ( x ) ] 2 − f ( x ) f ′ ( x ) [ f ′ ( x ) ] 2 , x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) [ f ′ ( x k ) ] 2 − f ( x k ) f ′ ′ ( x k ) x_{k+1}=x_k-\frac{u(x_k)}{u'(x_k)},u'(x)=\frac{[f'(x)]^2-f(x)f'(x)}{[f'(x)]^2},x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)f'(x_k)}{[f'(x_k)]^2-f(x_k)f''(x_k)} xk+1=xk−u′(xk)u(xk),u′(x)=[f′(x)]2[f′(x)]2−f(x)f′(x),xk+1=xk−[f′(xk)]2−f(xk)f′′(xk)f(xk)f′(xk)，至少平方收敛。
例题1：设 f ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 8 x − 3 f(x)=x^4-6x^2+8x-3 f(x)=x4−6x2+8x−3，求 x 1 = 3 , x 2 = 1 x_1=3,x_2=1 x1=3,x2=1的二阶局部收敛的Newton法。
解：首先判断单根还是重根， f ′ ( x ) = 4 x 3 − 12 x + 8 , x 1 = 3 , f ( − 3 ) = 0 , f ′ ( − 3 ) ! = 0 f'(x)=4x^3-12x+8,x_1=3,f(-3)=0,f'(-3)!=0 f′(x)=4x3−12x+8,x1=3,f(−3)=0,f′(−3)!=0，所以 x 1 = 3 x_1=3 x1=3为单根，用二阶收敛的呢我同法， x k + 1 = x k − x k 4 − 6 x k 2 + 8 x k − 3 4 x k 3 − 12 x k + 8 x_{k+1}=x_k-\frac{x_k^4-6x_k^2+8x_k-3}{4x_k^3-12x_k+8} xk+1=xk−4xk3−12xk+8xk4−6xk2+8xk−3。
x 2 = 1 , f ( 1 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = 0 , f ′ ′ ( 1 ) = 0 , f ′ ′ ′ ( 1 ) ! = 0 x_2=1,f(1)=0,f'(1)=0,f''(1)=0,f'''(1)!=0 x2=1,f(1)=0,f′(1)=0,f′′(1)=0,f′′′(1)!=0，所以 x 2 = 1 x_2=1 x2=1为三重根，方法同上，二阶收敛的Newton法 x k + 1 = x k − 3 x k 4 − 6 x k 2 + 8 x k − 3 4 x k 3 − 12 x k + 8 x_{k+1}=x_k-3\frac{x_k^4-6x_k^2+8x_k-3}{4x_k^3-12x_k+8} xk+1=xk−34xk3−12xk+8xk4−6xk2+8xk−3。
总结
本章介绍了非线性方程的数值解法，二分法实现简单，但收敛很慢，迭代法主要是Newton迭代法，用泰勒公式近似方程，着重分析其收敛性和收敛阶，该章公式很多很杂，大量篇幅在于分析性质而非单纯计算，到整理完毕整体也没消化完，还需后面补足，大致为：确定适定性，分析收敛性，写出迭代格式，计算收敛阶。
这也是数值分析的最后一章，我们依次介绍了误差分析的方法、线性方程组的数值解法、函数插值的预测法、数值积分的近似计算法和本章非线性方程的数值解法，这些方法我们以后未必能用得到，但通过对这些方法学习，我们如果能体会这种逼近和代替的思想也是很大的收获，现实世界的很多问题我们没法精确求解分析，构造相近的情景再解决也算是曲线救国了。