最小二乘法拟合出二阶响应面近似模型
背景：根据样本试验数据拟合出二阶响应面近似模型（正交二次型），并使用决定系数R²和调整的决定系数R²_adj来判断二阶响应面模型的拟合精度。
1、样本数据（来源：硕士论文《航空发动机用W形金属密封环密封性能分析与优化》）
编号 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3
1 0.67 0.70 1.78 0.83 804.8 246.7 37.7
2 0.59 0.73 2.09 0.72 686.3 213.5 40.1
3 0.69 0.78 1.81 0.86 703.6 221.0 39.3
4 0.57 0.70 1.84 0.73 822.3 253.6 37.1
5 0.58 0.80 2.07 0.74 632.4 201.6 40.9
6 0.66 0.77 1.95 0.71 716.9 224.7 39.7
7 0.61 0.69 2.04 0.75 730.1 223.3 39.4
8 0.66 0.83 1.88 0.76 676.6 215.8 40.0
9 0.71 0.66 1.85 0.77 845.0 254.6 37.8
10 0.64 0.72 1.73 0.82 813.2 251.8 37.2
11 0.71 0.71 1.99 0.81 709.0 217.4 40.1
12 0.60 0.77 1.91 0.79 698.2 219.5 39.2
13 0.70 0.65 1.94 0.80 794.9 237.9 38.7
14 0.74 0.74 1.96 0.89 663.2 205.7 40.8
15 0.74 0.67 1.74 0.87 839.3 253.8 37.5
16 0.56 0.68 1.87 0.84 773.6 221.6 37.7
17 0.62 0.84 2.06 0.77 598.0 193.0 41.8
18 0.64 0.72 2.01 0.78 703.4 217.3 39.8
19 0.68 0.79 1.79 0.70 777.5 245.8 38.4
20 0.65 0.84 1.81 0.90 640.6 205.3 40.1
21 0.73 0.75 1.76 0.88 743.3 230.9 38.8
22 0.63 0.82 1.70 0.84 726.0 231.4 38.3
23 0.60 0.83 1.90 0.81 648.0 207.5 40.1
24 0.56 0.76 1.97 0.76 693.6 217.9 39.3
25 0.72 0.81 2.03 0.85 600.7 191.7 42.2
2、将上述数据存放在sample_data.xlsx表格中，再编写matlab代码
% % 读取数据（假设数据已经保存在一个名为'data.txt'的文件中，使用空格或制表符分隔）
%% 近似模型：y = a0+a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4+a5*x1*x2+a6*x1*x3+a7*x1*x4+a8*x2*x3+a9*x2*x4+a10*x3*x4+a11*x1^2+a12*x2^2+a13*x3^2+a14*x4^2；
clc;clear;
filename = 'sample_data.xlsx';
data = xlsread(filename);% 提取自变量和因变量
X = data(:, 2:5); % x1, x2, x3, x4
y = data(:, 6:8); % y1, y2, y3% 构建扩展自变量矩阵（包括线性项、交互项和平方项）
[n, m] = size(X);
X_extended = ones(n, 1); % 初始化扩展矩阵，第一列为截距项% 添加线性项
X_extended = [X_extended, X];% 添加交互项
X_extended = [X_extended, X(:,1).*X(:,2), X(:,1).*X(:,3), X(:,1).*X(:,4), ...X(:,2).*X(:,3), X(:,2).*X(:,4), X(:,3).*X(:,4)];% 添加平方项
X_extended = [X_extended, X(:,1).^2, X(:,2).^2, X(:,3).^2, X(:,4).^2];% 使用最小二乘法求解回归系数（对每个因变量分别进行）
beta_values = zeros(15, 3); % 15个系数（包括截距项），3个因变量
R2_values = zeros(1, 3);
adjusted_R2_values = zeros(1, 3);for i = 1:3% 拟合模型beta = (X_extended' * X_extended) \ (X_extended' * y(:, i));beta_values(:, i) = beta;% 预测值y_pred = X_extended * beta;% 计算SST, SSE, SSRSST = sum((y(:, i) - mean(y(:, i))).^2);SSE = sum((y(:, i) - y_pred).^2);SSR = SST - SSE;% 计算R^2R2_values(i) = SSR / SST;% 计算调整后的R^2p = size(X_extended, 2); % 自变量数量（包括截距项）adjusted_R2_values(i) = 1 - (1 - R2_values(i)) * ((n - 1) / (n - p));
end% 显示结果
disp('回归系数（包括截距项）：');
disp(beta_values);
disp('决定系数 R^2:');
disp(R2_values);
disp('调整的决定系数 Adjusted R^2:');
disp(adjusted_R2_values);3、运行结果
4、如上，决定系数和调整的决定系数均大于0.95，可见，近似模型满足精度要求。