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信号与噪声分析——第三节：随机过程的统计特征

news 2025/6/24 0:28:41

随机过程的定义：

随机过程是一种数学模型，用来描述系统或现象在时间或者空间上随之变化的不确定性。

一个随机过程的数字特征

1.数学期望（统计平均值）：

表示为 $E[X(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} x p(x; t) dx = m_X(t)$
数学期望是随机过程在时间 t 上的平均值，通常用来表示过程的趋势。

2.方差：

表示为 $D[X(t)] = E\{X(t) - E[X(t)]\}^2= E[X^2(t)] - E^2[X(t)]$

进一步展开： $D[X(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 p(x; t) dx - m_X^2(t) = \sigma_X^2(t)$

方差表示随机过程的波动性，反映了过程在时间 t 处的离散程度

3.自相关函数：

表示为 $R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1)X(t_2)]$
进一步展开为 $R_X(t_1, t_2) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x_1 x_2 p(x_1, x_2; t_1, t_2) dx_1 dx_2$

自相关函数用于描述随机过程在不同时间点之间的关系。

4.自协方差函数：

表示为 $C_X(t_1, t_2) = E\{[X(t_1) - m_X(t_1)][X(t_2) - m_X(t_2)]\}$

$C_X(t_1, t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]-m_X(t_1)m_X(t_2)$

表示两个不同时间点之间的方差关系

5.归一化协方差函数——相关系数

表示为 $\rho_X(t_1, t_2) = \frac{C_X(t_1, t_2)}{\sigma_X(t_1) \sigma_X(t_2)}$
若 $\rho_X(t_1, t_2) = 0$ 或 $C_X(t_1, t_2) = 0$ ，则表明 $X(t_1)$ 和 $X(t_2)$ 不相关

两个随机过程的联合概率密度函数和数字特征

2.互相关函数：

$R_{XY}(t_1, t_2) = E[X(t_1)Y(t_2)]$

3.互协方差函数：

                 $C_{XY}(t_1, t_2) = E\{[X(t_1) - m_X(t_1)][Y(t_2) - m_Y(t_2)]\}$

   $=R_{XY}(t_1, t_2)-m_X(t_1)m_Y(t_2)$

若：

                 $C_{XY}(t_1, t_2) = 0$ ，则称 $X(t)$ 和 $Y(t)$ 不相关