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四元数基础知识

news 2025/8/15 14:06:36

背景

四元数是方向的 4 元组表示形式，它比旋转矩阵更简洁。四元数对于分析涉及三维旋转的情况非常有效。四元数广泛用于机器人技术、量子力学、计算机视觉和 3D 动画。

您可以在 Wikipedia 上了解有关基本数学概念的更多信息。您还可以观看由 3blue1brown 制作的可探索视频系列 Visualizeizing quaternions。

在本教程中，您将了解四元数和转换方法在 ROS 2 中的工作原理。

先决条件

但是，这不是一个硬性要求，您可以坚持使用最适合您的任何其他几何转换库。您可以查看 transforms3d、scipy.spatial.transform、pytransform3d、numpy-quaternion 或 blender.mathutils 等库。

四元数的组成部分

ROS 2 使用四元数来跟踪和应用旋转。四元数有 4 个分量。在 ROS 2 中，是最后的，但在一些库（如 Eigen）中，可以放在第一个位置。不产生绕 x/y/z 轴旋转的常用单位四元数是，可以通过以下方式创建：(x, y, z, w)ww(0, 0, 0, 1)

#include <tf2/LinearMath/Quaternion.h>
...tf2::Quaternion q;
// Create a quaternion from roll/pitch/yaw in radians (0, 0, 0)
q.setRPY(0, 0, 0);
// Print the quaternion components (0, 0, 0, 1)
RCLCPP_INFO(this->get_logger(), "%f %f %f %f",q.x(), q.y(), q.z(), q.w());

四元数的大小应始终为 1。如果数值错误导致四元数幅度不是 1，ROS 2 将打印警告。要避免这些警告，请规范化四元数：

q.normalize();

ROS 2 中的四元数类型

ROS 2 使用两种四元数数据类型：及其等效数据类型。要在 C++ 中在它们之间进行转换，请使用 .tf2::Quaterniongeometry_msgs::msg::Quaterniontf2_geometry_msgs

C++

#include <tf2_geometry_msgs/tf2_geometry_msgs.hpp>
...tf2::Quaternion tf2_quat, tf2_quat_from_msg;
tf2_quat.setRPY(roll, pitch, yaw);
// Convert tf2::Quaternion to geometry_msgs::msg::Quaternion
geometry_msgs::msg::Quaternion msg_quat = tf2::toMsg(tf2_quat);// Convert geometry_msgs::msg::Quaternion to tf2::Quaternion
tf2::convert(msg_quat, tf2_quat_from_msg);
// or
tf2::fromMsg(msg_quat, tf2_quat_from_msg);

蟒

from geometry_msgs.msg import Quaternion
...# Create a list of floats, which is compatible with tf2
# Quaternion methods
quat_tf = [0.0, 1.0, 0.0, 0.0]# Convert a list to geometry_msgs.msg.Quaternion
msg_quat = Quaternion(x=quat_tf[0], y=quat_tf[1], z=quat_tf[2], w=quat_tf[3])

四元数运算

1 在 RPY 中思考，然后转换为四元数

我们很容易考虑绕轴的旋转，但很难从四元数的角度考虑。建议根据滚动（绕 X 轴）、俯仰（绕 Y 轴）和偏航（绕 Z 轴）计算目标旋转，然后转换为四元数。

# quaternion_from_euler method is available in turtle_tf2_py/turtle_tf2_py/turtle_tf2_broadcaster.py
q = quaternion_from_euler(1.5707, 0, -1.5707)
print(f'The quaternion representation is x: {q[0]} y: {q[1]} z: {q[2]} w: {q[3]}.')

2 应用四元数旋转

要将一个四元数的旋转应用于姿势，只需将姿势的前一个四元数乘以表示所需旋转的四元数即可。这个乘法的顺序很重要。

C++

#include <tf2_geometry_msgs/tf2_geometry_msgs.hpp>
...tf2::Quaternion q_orig, q_rot, q_new;q_orig.setRPY(0.0, 0.0, 0.0);
// Rotate the previous pose by 180* about X
q_rot.setRPY(3.14159, 0.0, 0.0);
q_new = q_rot * q_orig;
q_new.normalize();或

q_orig = quaternion_from_euler(0, 0, 0)
# Rotate the previous pose by 180* about X
q_rot = quaternion_from_euler(3.14159, 0, 0)
q_new = quaternion_multiply(q_rot, q_orig)

3 反转四元数

反转四元数的一种简单方法是对 w 分量求反：

q[3] = -q[3]

4 相对旋转

假设你有两个来自同一帧的四元数，并且。您希望查找按以下方式转换为的相对旋转：q_1q_2q_rq_1q_2

q_2 = q_r * q_1

您可以像求解矩阵方程一样进行求解。反转并右乘两侧。同样，乘法的顺序也很重要：q_rq_1

q_r = q_2 * q_1_inverse

下面是一个在 python 中获取从上一个机器人姿势到当前机器人姿势的相对旋转的示例：

def quaternion_multiply(q0, q1):"""
    Multiplies two quaternions.    Input
    :param q0: A 4 element array containing the first quaternion (q01, q11, q21, q31)
    :param q1: A 4 element array containing the second quaternion (q02, q12, q22, q32)    Output
    :return: A 4 element array containing the final quaternion (q03,q13,q23,q33)    """# Extract the values from q0w0 = q0[0]x0 = q0[1]y0 = q0[2]z0 = q0[3]# Extract the values from q1w1 = q1[0]x1 = q1[1]y1 = q1[2]z1 = q1[3]# Computer the product of the two quaternions, term by termq0q1_w = w0 * w1 - x0 * x1 - y0 * y1 - z0 * z1q0q1_x = w0 * x1 + x0 * w1 + y0 * z1 - z0 * y1q0q1_y = w0 * y1 - x0 * z1 + y0 * w1 + z0 * x1q0q1_z = w0 * z1 + x0 * y1 - y0 * x1 + z0 * w1# Create a 4 element array containing the final quaternionfinal_quaternion = np.array([q0q1_w, q0q1_x, q0q1_y, q0q1_z])# Return a 4 element array containing the final quaternion (q02,q12,q22,q32)return final_quaternionq1_inv[0] = prev_pose.pose.orientation.x
q1_inv[1] = prev_pose.pose.orientation.y
q1_inv[2] = prev_pose.pose.orientation.z
q1_inv[3] = -prev_pose.pose.orientation.w # Negate for inverseq2[0] = current_pose.pose.orientation.x
q2[1] = current_pose.pose.orientation.y
q2[2] = current_pose.pose.orientation.z
q2[3] = current_pose.pose.orientation.wqr = quaternion_multiply(q2, q1_inv)