静止坐标系和旋转坐标系变换的线性化，锁相环线性化通用推导
将笛卡尔坐标系的电压 [ U x , U y ] [U_x, U_y] [Ux,Uy] 通过旋转变换（由锁相环角度 θ P L L \theta_{PLL} θPLL 控制）转换为 dq 坐标系下的电压 [ U d , U q ] [U_d, U_q] [Ud,Uq]。这个公式是非线性的，因为它涉及到正弦和余弦函数。
图片中的推导过程主要描述了在变流器控制中，从静止坐标系（xy坐标系）到旋转坐标系（dq坐标系）的变换关系，并进一步通过线性化近似来简化该变换。
xy坐标系（αβ）到dq坐标系的变换关系
变换公式如下：
( U d , i U q , i ) = ( cos θ P L L , i sin θ P L L , i − sin θ P L L , i cos θ P L L , i ) ( U x , i U y , i ) \begin{pmatrix} U_{d,i} \\ U_{q,i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta_{PLL,i} & \sin \theta_{PLL,i} \\ -\sin \theta_{PLL,i} & \cos \theta_{PLL,i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_{x,i} \\ U_{y,i} \end{pmatrix} (Ud,iUq,i)=(cosθPLL,i−sinθPLL,isinθPLL,icosθPLL,i)(Ux,iUy,i)
( I d , i I q , i ) = ( cos θ P L L , i sin θ P L L , i − sin θ P L L , i cos θ P L L , i ) ( I x , i I y , i ) \begin{pmatrix} I_{d,i} \\ I_{q,i} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta_{PLL,i} & \sin \theta_{PLL,i} \\ -\sin \theta_{PLL,i} & \cos \theta_{PLL,i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_{x,i} \\ I_{y,i} \end{pmatrix} (Id,iIq,i)=(cosθPLL,i−sinθPLL,isinθPLL,icosθPLL,i)(Ix,iIy,i)
假设角度 θ P L L , i \theta_{PLL,i} θPLL,i 小偏差为 Δ θ P L L , i \Delta \theta_{PLL,i} ΔθPLL,