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矩阵的特征值和特征向量

news 2025/7/14 7:27:55

矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，用于描述矩阵对向量的作用，特别是在矩阵对向量的线性变换中的表现。它们帮助我们理解矩阵在某些方向上的缩放或旋转效果。

给定一个 $\times n$ 的方阵 $A$ ，如果存在一个非零向量 $v$ 和一个标量 $\lambda$ ，使得：
$\lambda v$

那么：

这意味着，当矩阵 $A$ 作用于向量 $v$ 时，向量的方向不变，只是被缩放了，缩放因子就是特征值 $\lambda$ 。

特征向量 $v$ 表示在矩阵变换 $A$ 作用下保持方向不变的向量。换句话说，矩阵 $A$ 对这个向量的作用仅仅是改变其长度（缩放），而不会改变其方向。
特征值 $\lambda$ 表示矩阵 $A$ 作用在特征向量 $v$ 上时的缩放因子。如果 $\lambda > 1$ ，则矩阵 $A$ 拉伸特征向量；如果 $\lambda < 1$ ，则矩阵 $A$ 压缩特征向量；如果 $\lambda = 0$ ，则向量被映射为零向量；如果 $\lambda < 0$ ，则向量被反转方向并缩放。

为了找到矩阵 $A$ 的特征值和特征向量，步骤如下：

我们要求解特征方程：
$\lambda v$

将其变形为：
$\lambda I)v = 0$

其中 $I$ 是单位矩阵， $\lambda$ 是标量。为了使 $v$ 有非零解，矩阵 $\lambda I$ 必须是奇异矩阵，即其行列式为 0：
$\det(A - \lambda I) = 0$

这个方程称为特征值方程。通过解这个方程，我们可以找到矩阵的特征值 $\lambda$ 。

一旦求得特征值 $\lambda$ ，我们可以将其代入到方程 $\lambda I)v = 0$ 中，求解线性方程组来找到对应的特征向量 $v$ 。

让我们通过一个简单的例子来说明特征值和特征向量的计算过程。

假设我们有一个矩阵 $A$ ：
$\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

(1) 求特征值：

我们需要构造特征值方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ ：

构造 $\lambda I$ ：
$\lambda I = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{bmatrix}$
计算行列式：
$\det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 \times 1 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 8$
解特征值方程：
$\lambda^2 - 7\lambda + 8 = 0$

使用二次方程公式 $\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ，我们可以得到两个特征值：
$\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = 3$

(2) 求特征向量：

接下来，代入每个特征值，求解对应的特征向量。

对于 $\lambda_1 = 4$ ：
$(A - 4 I) v = 0$

即：
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

从第一个方程可以得出 $v_2 = 0$ ，第二个方程得出 $2v_1 = 0$ ，所以 $v_1 = 1$ 。因此，特征向量为：
$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

同理，对于 $\lambda_2 = 3$ ：
$(A - 3 I) v = 0$

我们可以得到对应的特征向量：
$v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

因此，矩阵 $A$ 的特征值为 $4$ 和 $3$ ，对应的特征向量分别为 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 。

特征值的个数：
一个 $\times n$ 的矩阵最多有 $n$ 个特征值（包括重根）。
特征值可以是复数：
如果矩阵是实数矩阵，它的特征值可以是复数，特别是当矩阵是非对称矩阵时。
对角化：
如果矩阵有 $n$ 个线性无关的特征向量，则可以将矩阵对角化。即找到一个可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$ ，使得：
$A = P D P^{-1}$

其中 $D$ 的对角线元素是矩阵 $A$ 的特征值。