泛函分析精解【1】

平方可积函数

平方可积函数

是一个核心概念，尤其在希尔伯特空间理论中占有重要地位。以下是对平方可积函数的定义、性质、公式、计算、例子和例题的详细阐述：

一、定义

平方可积函数是指那些其绝对值平方的积分为有限值的实值或复值可测函数。在数学中，这通常表示为：对于定义在可测集E上的函数f，如果满足

$${\int }_E|f(x){|}^{2}dx<\infty$$

则称f在E上是平方可积的。所有这样的函数构成的空间称为L²(E)，其中E是某个具有有限测度的可测集，如区间[a,b]。

二、性质

1. 内积空间：L²(E)空间是一个内积空间，其内积定义为

   $$(f,g)={\int }_{E}f(x)\overline{g(x)}dx$$

   这里，对于复值函数，$\overline{g(x)}$表示g(x)的共轭复数；对于实值函数，则直接为g(x)。

2. 完备性：L²(E)空间是一个完备的内积空间，即希尔伯特空间。这意味着L²(E)中的任何柯西序列都收敛到L²(E)中的某个元素。

3. 平行四边形恒等式：对于L²(E)空间中的任意两个元素f和g，有

   $$\Vert f+g{\Vert }^2+\Vert f-g{\Vert }^2=2(\Vert f{\Vert }^2+\Vert g{\Vert }^2)$$

   其中，||·||表示由内积导出的范数。

4. 正交性：如果两个函数f和g的内积为零，即(f,g) = 0，则称f和g在L²(E)空间中正交。

三、公式

除了内积公式外，平方可积函数的核心公式就是其定义式，即函数绝对值平方的积分有限。此外，由内积可以导出范数公式：

$$\Vert f\Vert ={\left({\int }_E|f(x){|}^{2}dx\right)}^{1/2}$$

四、计算

计算平方可积函数通常涉及积分运算。例如，要判断一个函数f是否在给定区间[a,b]上平方可积，就需要计算积分

$${\int }_a^b|f(x){|}^{2}dx$$

如果该积分有限，则f在[a,b]上是平方可积的。

五、例子

考虑定义在区间[0,1]上的函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{1/2},& 0\le x\le 1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

可以验证该函数在[0,1]上是平方可积的，因为其绝对值平方的积分为

$${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}<\infty$$

六、例题

例题：设f(x)是定义在区间[0,1]上的连续函数，且满足

$$ \int_0^1 |f(x)|^2 dx = 14$

求函数g(x) = xf(x)在[0,1]上是否平方可积。

解答：首先计算g(x)的绝对值平方的积分

$${\int }_0^1|g(x){|}^{2}dx={\int }_0^1{x}^2|f(x){|}^{2}dx$$

由于f(x)在[0,1]上连续且满足${\int }_0^1|f(x){|}^{2}dx=1$，且对于任意x∈[0,1]，有$0\le x^2\le 1$，因此可以利用这个条件来估计上面的积分：

$${\int }_0^1{x}^2|f(x){|}^{2}dx\le {\int }_0^1|f(x){|}^{2}dx=1$$

由于积分有限，因此g(x)在[0,1]上是平方可积的。

平方可积函数在泛函分析

一、定义

平方可积函数是指那些其绝对值平方的积分为有限值的实值或复值可测函数。在数学中，这通常表示为：对于定义在可测集E上的函数f，如果满足

$${\int }_E|f(x){|}^{2}dx<\infty$$

则称f在E上是平方可积的。所有这样的函数构成的空间称为L²(E)，其中E是某个具有有限测度的可测集，如区间[a,b]。

二、性质

1. 内积空间：L²(E)空间是一个内积空间，其内积定义为

$$(f,g)={\int }_{E}f(x)\overline{g(x)}dx$$

这里，对于复值函数，$\overline{g(x)}$表示g(x)的共轭复数；对于实值函数，则直接为g(x)。

2. 完备性：L²(E)空间是一个完备的内积空间，即希尔伯特空间。这意味着L²(E)中的任何柯西序列都收敛到L²(E)中的某个元素。

3. 平行四边形恒等式：对于L²(E)空间中的任意两个元素f和g，有

$$\Vert f+g{\Vert }^2+\Vert f-g{\Vert }^2=2(\Vert f{\Vert }^2+\Vert g{\Vert }^2)$$

其中，$\Vert \Vert \cdot \Vert \Vert$表示由内积导出的范数。

4. 正交性：如果两个函数f和g的内积为零，即(f,g) = 0，则称f和g在L²(E)空间中正交。

三、公式

除了内积公式外，平方可积函数的核心公式就是其定义式，即函数绝对值平方的积分有限。此外，由内积可以导出范数公式：

$$\Vert f\Vert ={\left({\int }_E|f(x){|}^{2}dx\right)}^{1/2}$$

四、计算

计算平方可积函数通常涉及积分运算。例如，要判断一个函数f是否在给定区间[a,b]上平方可积，就需要计算积分

$${\int }_a^b|f(x){|}^{2}dx$$

如果该积分有限，则f在[a,b]上是平方可积的。

五、例子

考虑定义在区间[0,1]上的函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^{1/2},& 0\le x\le 1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

可以验证该函数在[0,1]上是平方可积的，因为其绝对值平方的积分为

$${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}<\infty$$

六、例题

例题：设f(x)是定义在区间[0,1]上的连续函数，且满足

$$ \int_0^1 |f(x)|^2 dx = 14$

求函数g(x) = xf(x)在[0,1]上是否平方可积。

解答：首先计算g(x)的绝对值平方的积分

$${\int }_0^1|g(x){|}^{2}dx={\int }_0^1{x}^2|f(x){|}^{2}dx$$

由于f(x)在[0,1]上连续且满足${\int }_0^1|f(x){|}^{2}dx=1$，且对于任意x∈[0,1]，有(0 \leq x^2 \leq 1)，因此可以利用这个条件来估计上面的积分：

$${\int }_0^1{x}^2|f(x){|}^{2}dx\le {\int }_0^1|f(x){|}^{2}dx=1$$

由于积分有限，因此g(x)在[0,1]上是平方可积的。

以上就是对平方可积函数在泛函分析中的定义、性质、公式、计算、例子和例题的详细阐述。

$L_2空间$

定义

平方可积函数是指其绝对值平方的积分为有限值的实值或复值可测函数，又称二次积分函数。一个等价的定义是，函数本身的平方（而非它的绝对值）是勒贝格可积的。这意味着，对于定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果满足

$${\int }_a^b|f(x){|}^{2}dx<\infty$$

则称f(x)在[a,b]上是平方可积的。平方可积函数的空间记作$L^2([a,b])$，或简单地记作$L^2$。

性质

1. 内积空间：平方可积函数通过内积构成一个内积空间。对于任意两个平方可积函数f和g，其内积定义为

$$(f,g)={\int }_a^{b}f(x)\overline{g(x)}dx$$

其中，对于实值函数，共轭复数$\overline{g(x)}$就是g(x)本身；对于复值函数，则需要取共轭。

2. 完备性：由平方可积函数构成的内积空间在由内积导出的度量下是完备的，因此它是一个希尔伯特空间。这意味着，该空间中的任何柯西序列都收敛到该空间中的某个元素。

3. 正交性与垂直性：与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间中也有距离和角的概念，从而可以引申出正交性与垂直性的概念。

公式

平方可积函数的核心公式就是其定义式，即函数绝对值平方的积分有限。此外，内积公式也是研究平方可积函数性质的重要工具。

计算

计算平方可积函数通常涉及积分运算。例如，要判断函数f(x)在区间[a,b]上是否平方可积，就需要计算积分

$${\int }_a^b|f(x){|}^{2}dx$$

如果该积分有限，则f(x)在[a,b]上是平方可积的。

例子

考虑定义在区间[0,1]上的函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x},& 0\le x\le 1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$$

要判断f(x)是否在[0,1]上平方可积，可以计算积分

$${\int }_0^1|f(x){|}^{2}dx={\int }_0^{1}xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1=\frac{1}{2}<\infty$$

由于积分有限，因此f(x)在[0,1]上是平方可积的。

例题

例题：设f(x)是定义在区间[0,1]上的连续函数，且满足

$${\int }_0^1|f(x){|}^{2}dx=1$$

求函数g(x) = xf(x)在[0,1]上是否平方可积。

解答：首先计算g(x)的绝对值平方的积分

$${\int }_0^1|g(x){|}^{2}dx={\int }_0^1|xf(x){|}^{2}dx={\int }_0^1{x}^2|f(x){|}^{2}dx$$

由于f(x)在[0,1]上连续且满足${\int }_0^1|f(x){|}^{2}dx=1$，我们可以利用这个条件来估计上面的积分。注意到在区间[0,1]上，$0\le x^2\le 1$，因此有

$${\int }_0^1{x}^2|f(x){|}^{2}dx\le {\int }_0^1|f(x){|}^{2}dx=1$$

由于积分有限，因此g(x)在[0,1]上是平方可积的。

以上就是对平方可积函数的定义、性质、公式、计算、例子和例题的详细介绍。

实变函数与罗曼积分

首先，需要纠正一点，在数学领域中，并没有直接称为“罗素积分”的概念。我猜测您可能是指“Riemann积分”（也称为黎曼积分），因为它在数学分析中是一个非常重要的积分理论，且“罗素”与“Riemann”在发音上可能有相似之处。因此，以下将详细解释实变函数与Riemann积分之间的联系和定理。

实变函数与Riemann积分的联系

1. 历史与发展：

   • Riemann积分是经典微积分学中的积分理论，它基于分割定义域、求和取极限的思想来定义积分。
   • 实变函数论作为微积分学的进一步发展，不仅研究更一般化的函数类及其性质，还对积分理论进行了深入的探讨和扩展，其中Lebesgue积分是对Riemann积分的重要改进。

2. 积分定义的对比：

   • Riemann积分：要求函数在积分区间上几乎处处连续或有界且只有有限个间断点。它通过分割定义域、选取样本点、求和取极限的方式来定义积分。
   • Lebesgue积分：放宽了Riemann积分的条件，只要函数是可测的，并且其绝对值的积分是有限的，那么该函数就是Lebesgue可积的。Lebesgue积分基于测度论，通过函数值域上的划分来定义积分。

3. 可积性条件的放宽：

   • Riemann积分对函数的可积性条件较为严格，限制了可积函数的范围。
   • Lebesgue积分则通过引入测度的概念，放宽了可积性条件，使得更多函数变得可积。这包括了一些在Riemann积分意义下不可积但具有物理或实际意义的函数。

实变函数与Riemann积分的定理

1. Riemann可积与Lebesgue可积的等价性定理：

   • 定理内容：如果一个函数在闭区间上是Riemann可积的，那么它在这个区间上也是Lebesgue可积的，并且两种积分方式的结果相同。
   • 这个定理表明了Lebesgue积分对Riemann积分的兼容性，即Lebesgue积分是Riemann积分的一种推广。它说明了在Riemann可积的条件下，两种积分理论是等价的。

2. 几乎处处连续与Riemann可积性的等价性定理：

   • 定理内容：一个函数在闭区间上Riemann可积的充要条件是这个函数在闭区间上几乎处处连续（即除了一个测度为零的集合外处处连续）。
   • 这个定理揭示了Riemann可积性与函数连续性之间的关系。它说明了在Riemann积分的框架下，可积函数必须具有某种形式的连续性（即几乎处处连续）。

注意事项

• 在实变函数论中，虽然Lebesgue积分是对Riemann积分的重要改进和扩展，但两者并非完全独立。相反，它们之间存在紧密的联系和相互补充的关系。
• 在实际应用中，选择使用Riemann积分还是Lebesgue积分取决于具体问题的性质和需求。在某些情况下，Riemann积分已经足够解决问题；而在另一些情况下，则需要使用更一般化的Lebesgue积分来处理更复杂的函数和积分问题。

综上所述，实变函数与Riemann积分之间的联系主要体现在积分理论的扩展和改进上，而两者之间的定理则揭示了这种联系的具体内容和形式。

参考文献

1. 文心一言