高等代数笔记（2）————（弱/强）数学归纳法

数学归纳法的引入情景其实很简单，就是多米诺骨牌。

推倒所有多米诺骨牌的关键就是推倒第一块，以及确保第一块倒下后会带动第二块，第二块带动第三块，以此类推，也就是可以递推。由此我们可以归纳出所有的多米诺骨牌都可以被推倒。

所以简单来说数学归纳法的两个条件就是第一项成立和可递推，可递推用数学语言表示就是第k项可以使第k+1项成立。

由此，我们就可以正式引入（弱）数学归纳法的定义。

对于一个和正整数n有关的命题P(n)，若满足：

(1)命题P(n0)（n0∈N*）成立

(2)假设命题P(k) (k≥n0，k∈N*) 成立，可以推出命题P(k+1)成立。

那么对于所有的n≥n0且n∈N*都有P(n)成立。

这种证明方法就叫数学归纳法。（其实是弱归纳法，或者说是弱数学归纳法）

书写格式就是：

1.证明命题P(n0)（n0∈N）成立

（比如第一项时n=1，那就证明P(1)成立，如果是n=0，那就证明P(0)成立）

2.假设n=k (k≥n0，k∈N) 时命题成立，证明 n=k+1 时命题成立。

3.因此，由数学归纳法知，对任意n∈N，都有...成立（“...”为要证明的命题）

（命题的范围要看清时N*还是N，必要时要相应的做一些符号上的调整）

只有当两个步骤都可行时才能使用弱归纳法证明出来。

而且弱归纳法的适用范围是给定命题在整个或局部自然数中成立。

（也就是n=0的时候也可以用。）

举个例子：

证明：

（1）n=1时，显然命题成立

（2）假设n=k时成立

                                  

                                  

                                  

（3）综上，命题成立

而强归纳法和弱归纳法的区别在于弱归纳法递推出第k+1项只用了第k项，但是强归纳法可以使用所有n≤k的情况来证明第k+1项，比如有前两项递推出后一项的情况弱归纳法就无法使用，但是强归纳法就可以。

强归纳法就是说n=0时成立，对任意n∈N*，如果n≤k成立，可推得n=k+1时也成立，那么就可以证明对所有n∈N成立。

。

强归纳法的证明步骤非常相像：

1.证明命题P(n0)（n0∈N）成立

2.假设n≤k (k≥n0，k∈N) 时命题均成立，证明 n=k+1 时命题成立。

3.因此，由强数学归纳法知，对任意n∈N，都有...成立（“...”为要证明的命题）

。

其实数学归纳法还是比较模板化的，只要满足对应的条件就可以直接套用。