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DAY 9 - 10 : 树

news 2025/7/9 4:13:54

树的概念

定义

树（Tree）是n（n≥0）个节点的有限集合T，它满足两个条件：

1.有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点。

2.其余的节点可以分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合又是一棵树，并称为其根的子树。

节点的度数：一个节点的子树的个数。

一棵树的度数：该树中节点的最大度数。

一个节点系列k1,k2, ……,ki,ki+1, ……,kj,并满足ki是ki+1的父节点，就称为一条从k1到kj的路径。

路径的长度为j-1,即路径中的边数。

路径中前面的节点是后面节点的祖先，后面节点是前面节点的子孙。

节点的层数等于父节点的层数加一，根节点的层数定义为一。树中节点层数的最大值称为该树的高度或深度。

若树中每个节点的各个子树的排列为从左到右，不能交换，即兄弟之间是有序的，则该树称为有序树。

m（m≥0）棵互不相交的树的集合称为森林。

树去掉根节点就成为森林，森林加上一个新的根节点就成为树。

树的逻辑结构

树中任何节点都可以有零个或多个直接后继节点（子节点），但至多只有一个直接前趋节点（父节点），根节点没有前趋节点，叶节点没有后继节点。

二叉树的原理

定义

是由一个根节点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

性质

1.第N层上的节点最多为2^(N-1)个。

        2.深度为K的节点最多为2^K - 1 个。

3.满二叉树：深度为k（k≥1）时有2^k－1个节点的二叉树。

      4.完全二叉树：只有最下面两层有度数小于2的节点，且最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上。

        具有n个节点的完全二叉树的深度为

（log2n）＋1或 log2(n+1)

顺序存储结构

完全二叉树节点的编号方法是从上到下，从左到右，根节点为1号节点。设完全二叉树的节点数为n，某节点编号为i：

当 i ＞ 1（不是根节点）时，有父节点，其编号为 i / 2（对2下取整） ;

当2 * i ≤ n 时，有左孩子，其编号为2 * i ,否则没有左孩子，本身是叶节点;

当2 * i ＋ 1 ≤ n 时，有右孩子，其编号为2 * i + 1 ,否则没有右孩子；

当i为奇数且不为1时，有左兄弟，其编号为i - 1,否则没有左兄弟；

当i为偶数且小于n时，有右兄弟，其编号为i ＋ 1,否则没有右兄弟；

注意： 有n个节点的完全二叉树可以用有n+1个元素的数组进行顺序存储，节点号和数组下标一一对应，下标为零的元素不用。利用以上特性，可以从下标获得节点的逻辑关系。不完全二叉树通过添加虚节点构成完全二叉树，然后用数组存储，这要浪费一些存储空间。

所以，用链式存储更适合二叉树！

链式结构下二叉树的遍历

由于二叉树的递归性质，遍历算法也是递归的。三种基本的遍历算法：

1.先访问树根，再访问左子树，最后访问右子树。（先序遍历）

2.先访问左子树，再访问树根，最后访问右子树。（中序遍历）

3.先访问左子树，再访问右子树，最后访问树根。（后序遍历）

二叉树的实现

typedef char data_t;
typedef struct node_t
{data_t data;struct node_t* left, * right;
}bitree;

树的创建

核心思路：通过递归的思路填充树，遇到没有取值的节点填充 #。

bitree* tree_create()
{bitree* r;data_t ch;r = malloc(sizeof(bitree));if (r == NULL){return NULL;}printf("input:");scanf("%c", &ch);if (ch == '#'){return NULL;}r->data = ch;r->left = tree_create();r->right = tree_create();return r;
}

先序遍历

void preorder(bitree* r)
{if (r == NULL)/*程序出口，如果遇到NULL，返回上一级*/{return;}printf("%c", r->data);preorder(r->left);preorder(r->right);
}

中序遍历

void inorder(bitree* r)
{if (r == NULL){return;}inorder(r->left);printf("%c", r->data);inorder(r->right);
}

后序遍历

void postorder(bitree* r)
{if (r == NULL){return;}postorder(r->left);postorder(r->right);printf("%c", r->data);
}

验证

#include<stdio.h>
#include"tree.h"
#include<stdlib.h>
#pragma warning(disable:4996);
void test1();
int main()
{test1();return 0;
}
void test1()
{bitree * s = tree_create();preorder(s);putchar('\n');inorder(s);putchar('\n');postorder(s);putchar('\n');
}