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1. 二叉树顺序结构

普通二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储。

注意 操作系统和数据结构中都有栈和堆的概念，这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2.堆

2.1 堆的概念及结构

2.1.1 概念

堆分为小根堆和大根堆，根节点始终小于子节点称为小根堆，相反根节点始终大于子节点则称为大根堆。换句话说，将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

▶ 大(根)堆，树中所有父亲都大于或者等于孩子，且大堆的根是最大值；

▶ 小(根)堆，树中所有父亲都小于或者等于孩子，且小堆的根是最小值；

2.1.2 堆的性质

▶ 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
▶ 堆总是一棵完全二叉树；

2.2 堆的概念选择题

1、下列关键字序列为堆的是（ ）
A. 100, 60, 70, 50, 32, 65
B. 60, 70, 65, 50, 32, 100
C. 65, 100, 70, 32, 50, 60
D. 70, 65, 100, 32, 50, 60
E. 32, 50, 100, 70, 65, 60
F. 50, 100, 70, 65, 60, 32

• 分析：根据堆的概念分析，A 选项为大根堆；
  

2、已知小根堆为 8, 15, 10, 21, 34, 16, 12，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

• 分析：此题考查的是建堆的过程,所以选择 C 选项
  

3、一组记录排序码为 (5 11 7 2 3 17)，则利用堆排序方法建立的初始堆为（ ）
A. (11 5 7 2 3 17)
B. (11 5 7 2 17 3)
C. (17 11 7 2 3 5)
D. (17 11 7 5 3 2)
E. (17 7 11 3 5 2)
F. (17 7 11 3 2 5)

• 分析：此题考查的是堆排序建堆的过程,根据下面堆排序的过程分析，选择 C 选项
  

4、、注，请理解下面堆应用的知识再做。最小堆 [0, 3, 2, 5, 7, 4, 6, 8]，在删除堆顶元素0之后，其结果是（ ）
A. [3，2，5，7，4，6，8]
B. [2，3，5，7，4，6，8]
C. [2，3，4，5，7，8，6]
D. [2，3，4，5，6，7，8]

• 分析：此题考查的是 Pop 堆顶后，重新建堆的变化,所以选择 C 选项
  

2.3 堆的实现

1、堆向下调整算法
向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆 (包括大堆和小堆)，才能调整。

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。

1.1 建堆
有一个随机值的数组，把它理解成完全二叉树，并模拟成堆 (大堆/小堆)

int array[] = {27, 15, 19, 18, 28, 34, 65, 49, 25, 37}

观察这组数据
根下面的左右子树都是小根堆，其实堆向下调整算法就是针对这种特殊数据结构

1.1.1针对于这种类型的数据应该怎么调堆
思路：从根开始与左右孩子比较，如果孩子比父亲小，则两两交换位置，再继续往下调，直到左右孩子都比父亲大或者调到叶子

1.1.2 如果不满足左右子树是堆，怎么调整?

int array[] = {27, 37, 28, 18, 19, 34, 65, 25, 49, 15}
根的左右子树 37、28 都不满足：这里的想法就是先让左右子树先满足；而对于左右子树 37、28 来说又需要让 37 先满足；这样依此类推直至满足堆的条件。那干脆就从倒数的第一棵树，也就是倒数的第一个非叶子节点开始调整

关于堆的实现我们使用标准模块化开发格式进行研究：

Heap.h：存放函数声明、包含其他头文件、定义宏。
Heap.c：书写函数定义，书写函数实现。
test.c：书写程序整体执行逻辑。

①.堆的初始化：

堆的初始化与队列相同，首先判断传入指针非空后，将其置空，并将数据置零即可。

//1、对于HeapCreate函数，结构体不是外面传进来的，而是在函数内部自己malloc空间，再创建的
/* 
HP* HeapCreate(HPDataType* a, int n)
{}
*/
//2、对于HeapInit函数，在外面定义一个结构体，把结构体的地址传进来
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n)
{assert(php); //malloc空间(当前数组大小一样的空间)php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);if (php->a == NULL){printf("malloc fail\n");exit(-1);}//使用数组初始化memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);php->size = n;php->capacity = n;//建堆 int i = 0;for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(php->a, n, i);}
}

②.堆的插入（向上调整算法）：

因为堆的存储在物理层面上数组，但是在逻辑层面上二叉树。并且由于只有小根堆和大根堆，所以在插入数据之后要想保证其仍然是堆，就需要进行适当的调整。

插入时从尾部插入，而是否为堆取决于子节点和父节点的关系，若为小根堆则子节点要比父节点要大，否则就需要交换子节点和父节点，大根堆则相反。而这种调整方式就叫做向上调整算法。

执行操作前需进行非空判断，防止堆空指针进行操作。
插入前判断空间是否足以用于此次扩容，若不足则进行扩容，直至满足插入条件后堪称插入操作，这个接口的功能实现也与队列的处理方式基本相同。
与队列的不同点在于，为了保证插入后仍然是堆，需要在插入后使用向上调整算法进行适当的调整。

//向上调整算法：
//除了child的数据，前面的数构成堆
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0)//parent>=0  感觉有问题 但可以使用{if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//堆插入：
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//空间不够，增容if (php->size == php->capacity){HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(php->a, php->capacity * 2 * sizeof(HPDataType));if (temp == NULL){printf("realloc fail\n");exit(-1);}else{php->a = temp;	}php->capacity *= 2;}//将x放在最后php->a[php->size] = x;php->size++;//向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

③.堆的删除（向下调整算法）：

堆删除的实质是删除堆顶元素，如果我们直接删除堆顶的元素，再将数据挪动，就会破坏堆的结构，所以这种方法并不可取；于是我们这里采用将堆顶的数据与最后一个数据交换，再删除最后一个数据的方法，这样就实现了堆顶数据的删除。接着我们再调整一下堆顶数据的位置即可。

在这里选择的调整方法是：将根节点与它的孩子中的较小值交换，然后再将交换后的节点作为父节点继续与它的子节点交换，直到该节点小于它的子节点，或者成为叶节点。

注意 使用这个方法有一个前提：根节点的两个子树也得是堆才行。而这种方法就叫做向下调整算法。

执行操作前需进行非空判断，防止对空指针进行操作。
删除过程同样与队列近乎一致，不同点是在删除过后为了保证删除堆顶数据后仍为堆，于是需要使用向下调整算法对删除后的结果进行适当的处理。

//向下调整算法：
//左右子树都是大堆或小堆
void AdjustDown(HPDataType* arr, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){//选出左右孩子中大的那一个if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1])//防止越界 右孩子存在//child + 1 < n 放左边 先检查{child++;//右孩子>左孩子 ++}if (arr[child] > arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else//父亲大于孩子 不用交换了{break;}}
}//堆顶数据删除：
void HeapPop(HP* php)
{assert(php);//没有数据删除就报错assert(!HeapEmpty(php));//交换首尾Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);php->size--;//向下调整AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);//没有数据获取就报错assert(!HeapEmpty(php));return php->a[0];
}
int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

测试删除接口功能实现：

④.取堆顶数据：

取堆顶数据操作与队列完全相同

HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);//没有数据获取就报错assert(!HeapEmpty(php));return php->a[0];
}

⑤.堆中数据个数：

查看堆中的数据个数操作很简单，在判断传入指针非空后，直接返回 p->size 的值，即堆中保存的数据数量即可。

int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

⑥.堆的判空：

堆的判空操作与队列完全相同

//堆数据判空：
bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

⑦.堆的销毁：

堆的销毁与队列相同

void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

⑦.堆的打印：

void HeapPrint(HP* php)
{assert(php);int i = 0;for (i = 0; i < php->size; i++){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}

2.4 堆的代码实现

注意

▶ 堆的初始化一般是使用数组进行初始化的

▶ 堆的插入数据不分头插、尾插，将数据插入后，原来堆的属性不变

先放在数组的最后一个位置，再向上调整

▶ 堆的删除数据删除的是堆顶的数据，将数据删除后，原来堆的属性不变

为了效率，将第一个和最后一个元素交换，再减容，然后再调整

Heap.h 用于函数的声明

#pragma once//头
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>typedef int HPDataType;//C++ -> priority_queue 在C++里用的是优先级队列，其底层就是一个堆
//大堆
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;
//函数的声明
//交换
void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py);
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* arr, int n, int parent);
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
//使用数组进行初始化
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n);
//回收空间
void HeapDestroy(HP* php);
//插入x，保持它继续是堆
void HeapPush(HP* php, HPDataType x); 
//删除堆顶的数据，保持它继续是堆
void HeapPop(HP* php);
//获取堆顶的数据，也就是最值
HPDataType HeapTop(HP* php);
//判空
bool HeapEmpty(HP* php);
//堆的数据个数
int HeapSize(HP* php);
//输出
void HeapPrint(HP* php);

Heap.c 用于函数的定义

#include"Heap.h"void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py)
{HPDataType temp = *px;*px = *py;*py = temp;
}
//左右子树都是大堆或小堆
void AdjustDown(HPDataType* arr, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){//选出左右孩子中大的那一个if (child + 1 < n && arr[child] < arr[child + 1])//防止越界 右孩子存在//child + 1 < n 放左边 先检查{child++;//右孩子>左孩子 ++}if (arr[child] > arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else//父亲大于孩子 不用交换了{break;}}
}
//除了child的数据，前面的数构成堆
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0)//parent>=0  感觉有问题 但可以使用{if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}
void HeapPrint(HP* php)
{assert(php);int i = 0;for (i = 0; i < php->size; i++){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}
//1、对于HeapCreate函数，结构体不是外面传进来的，而是在函数内部自己malloc空间，再创建的
/* 
HP* HeapCreate(HPDataType* a, int n)
{}
*/
//2、对于HeapInit函数，在外面定义一个结构体，把结构体的地址传进来
void HeapInit(HP* php, HPDataType* a, int n)
{assert(php); //malloc空间(当前数组大小一样的空间)php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);if (php->a == NULL){printf("malloc fail\n");exit(-1);}//使用数组初始化memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);php->size = n;php->capacity = n;//建堆 int i = 0;for (i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(php->a, n, i);}
}
void HeapDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//空间不够，增容if (php->size == php->capacity){HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(php->a, php->capacity * 2 * sizeof(HPDataType));if (temp == NULL){printf("realloc fail\n");exit(-1);}else{php->a = temp;	}php->capacity *= 2;}//将x放在最后php->a[php->size] = x;php->size++;//向上调整AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
void HeapPop(HP* php)
{assert(php);//没有数据删除就报错assert(!HeapEmpty(php));//交换首尾Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);php->size--;//向下调整AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);//没有数据获取就报错assert(!HeapEmpty(php));return php->a[0];
}
int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

Test.c 用于测试函数

#include"Heap.h"void TestHeap()
{int arr[] = { 27, 37, 28, 18, 19, 34, 65, 25, 49, 15 };HP hp;HeapInit(&hp, arr, sizeof(arr)/sizeof(arr[0]));HeapPrint(&hp);HeapPush(&hp, 18);HeapPrint(&hp);HeapPush(&hp, 98);HeapPrint(&hp);printf("\n\n");//将堆这数据结构实现好后，我们就可以利用这些接口实现排序while(!HeapEmpty(&hp)){printf("%d ", HeapTop(&hp));	HeapPop(&hp);}printf("\n");}
int main()
{TestHeap();return 0;
}

3.总结：

今天我们认识并学习了二叉树顺序结构的相关概念，并且对堆的概念及结构也有了一定的了解。还对二叉树顺序存储的实例——堆的各接口功能进行了实现。下一篇博客我们将从堆的时间复杂度详解以及堆的应用—堆排序、TOP - K问题进一步介绍堆。希望我的文章和讲解能对大家的学习提供一些帮助。

当然，本文仍有许多不足之处，欢迎各位小伙伴们随时私信交流、批评指正！我们下期见~