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数学生物学-2-离散时间模型(Discrete Time Models）

news 2025/7/13 11:57:42

上一篇介绍了一个指数增长模型。然而，我们也看到，在现实情况下，细菌培养的增长是在离散的时间（在这种情况下是小时）进行测量的，种群并没有无限增长，而是趋于以S形曲线趋于平稳，称为“逻辑曲线”。

数学生物学-1-指数增长与衰退(Exponential Growth and Decay)-CSDN博客

这里发生的是，由于培养基中食物数量有限，细菌细胞由于竞争食物而生长减缓，因此，种群也开始以更慢的速度增长，越来越趋于稳定。

在本篇中，我们将提出一个描述这种增长的一般模型以及两个替代模型。数学上，这个过程可以用所谓的“离散逻辑模型”来描述。这是一个类似于之前表达的方程式的形式：

其中r是繁殖率常数，K是模型的承载能力。如之前所示，指数增长模型在生物学上是不现实的，因为它显示了无限增长。正如我们将看到的，离散逻辑模型纳入了一个承载能力，防止了无限增长。带有N^2t的项代表了种群内的种内竞争。

这其实可以表示为一个微分方程：

$\frac{\mathrm{dN} }{\mathrm{d} t} = rN(1-\frac{N}{k})$

我们假定r=1.5，N=100，使用R语言求解微分方程得：

# 加载所需的包
library(deSolve)# 定义逻辑斯蒂增长模型
logistic_growth <- function(time, state, parameters) {with(as.list(c(state, parameters)), {dN <- r * N * (1 - N/K)return(list(dN))})
}# 初始条件和参数
state <- c(N = 10) # 初始菌群数量
parameters <- c(r = 1.5, K = 100) # 增长率和承载能力# 时间向量
times <- seq(0, 50, by = 0.1)# 求解微分方程
out <- ode(y = state, times = times, func = logistic_growth, parms = parameters)# 绘制菌群增长曲线
library(ggplot2)
ggplot(data.frame(out), aes(x = time, y = N)) +geom_line() +labs(x = "Time", y = "Population Size", title = "Logistic Growth of Bacterial Population") +theme_minimal()

对离散逻辑函数的增强

我们应该注意到，离散逻辑方程的实现会遇到一个问题，即当N的值较大时，会给出一个负值。当然，也有其他形式的离散逻辑方程，如de Vries等人（2006）所建议的，可以解决这个问题。

方案一：Beverton-Holt模型

选项I 其中一个替代模型是所谓的Beverton-Holt模型（Beverton和Holt 1993；Geritz和Kisdi 2004），该模型是为渔业而推导出来的，用以下离散逻辑方程代替：

with r > 1 and (of course) K > 0. Note Nt+1 > 0 for all t.

方案二：Ricker模型

另一个模型是所谓的Ricker模型（Ricker 1954；Geritz和Kisdi 2004），也是为渔业而推导出来的，用以下离散逻辑方程代替：

with r > 1 and K > 0. Again, note that Nt+1 > 0 for all t.

我们分别可视化看一下：

library(ggplot2)# 参数设置
r <- 1.5
K <- 100
N <- seq(0, K, length.out = 100)# 离散逻辑模型（DLM）
g_DLM <- r * N * (1 - N/K)# Beverton-Holt模型（B-H）
g_BH <- N * (1 - N/K)^r# Ricker模型
g_Ricker <- N * exp(r * (1 - N/K))# 创建数据框
df <- data.frame(N = N, g_DLM = g_DLM, g_BH = g_BH, g_Ricker = g_Ricker)# 绘制图形
p <- ggplot(df, aes(x = N)) +geom_line(aes(y = g_DLM, color = "Discrete Logistic Model"), linewidth = 1) +geom_line(aes(y = g_BH, color = "Beverton-Holt Model"), linewidth = 1) +geom_line(aes(y = g_Ricker, color = "Ricker Model"), linewidth = 1) +scale_color_manual(name = "Model",values = c("Discrete Logistic Model" = "blue","Beverton-Holt Model" = "red","Ricker Model" = "green")) +labs(title = "Growth Functions for Discrete Models",x = "Population Size (N)",y = "Growth Rate",caption = "r = 1.5, K = 100") +theme_minimal() +theme(text = element_text(size = 12),plot.caption = element_text(hjust = 0.95))# 显示图形
print(p)