【高等代数笔记】003线性方程组的解法（一）
1. 线性方程组的解法
1.1 解线性方程组的矩阵消元法
【例1】解线性方程组 { x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2 3 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 9 − x 1 − 5 x 2 + 4 x 3 = 10 2 x 1 + 7 x 2 + x 3 = 1 \left\{\begin{array}{ll} x_{1}+3x_{2}+x_{3}=2 \\ 3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=9 \\ -x_{1}-5x_{2}+4x_{3}=10 \\ 2x_{1}+7x_{2}+x_{3}=1 \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧x1+3x2+x3=23x1+4x2+2x3=9−x1−5x2+4x3=102x1+7x2+x3=1。
【解】将第一个方程做基础，因为它的 x 1 x_{1} x1的系数是1，比较好算，然后把第二个方程的 x 1 x_{1} x1的系数变成0，那就把第一个方程的-3倍加到第2个方程，把第一个方程的1倍加到第三个方程，把第一个方程的-2倍加到第四个方程。
第二个方程+第一个方程×(-3)即 { x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2 − 5 x 2 − x 3 = 3 − 2 x 2 + 5 x 3 = 12 x 2 − x 3 = − 3 \left\{\begin{array}{ll} x_{1}+3x_{2}+x_{3}=2 \\ -5x_{2}-x_{3}=3 \\ -2x_{2}+5x_{3}=12 \\ x_{2}-x_{3}=-3 \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧x1+3x2+x3=2−5x2−x3=3−2x2+5x3=12x2−x3=−3
然后观察到第四个方程的 x 2 x_{2} x2的系数为1，把第四个方程和第二个方程调换一下位置
{ x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2 x 2 − x 3 = − 3 − 2 x 2 + 5 x 3 = 12 − 5 x 2 − x 3 = 3 \left\{\begin{array}{ll} x_{1}+3x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{2}-x_{3}=-3\\ -2x_{2}+5x_{3}=12 \\ -5x_{2}-x_{3}=3 \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧x1+3x2+x3=2x2−x3=−3−2x2+5x3=12−5x2−x3=3
把第二个方程的2倍加到第三个方程，第二个方程的5倍加到第四个方程，但是每次写未知量太麻烦，我们写成增广矩阵做，对方程的操作相当于对矩阵的行的操作，也就是将刚才的步骤写成：
( 1 3 1 2 3 4 2 9 − 1 − 5 4 10 2 7 1 1 ) ⟶ ( 1 3 1 2 0 − 5 − 1 3 0 − 2 5 12 0 1 − 1 − 3 ) ⟶ ( 1 3 1 2 0 1 − 1 − 3 0 − 2 5 12 0 − 5 − 1 3 ) ⟶ ( 1 3 1 2 0 1 − 1 − 3 0 0 3 6 0 0 − 6 − 12 ) （第三行的 2 倍加到第四行） ⟶ ( 1 3 1 2 0 1 − 1 − 3 0 0 3 6 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1& 3 & 1 &2 \\ 3& 4 & 2& 9\\ -1& -5 & 4 &10 \\ 2 & 7 & 1 & 1 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1& 3 & 1 &2 \\ 0& -5 & -1& 3\\ 0& -2 & 5 &12 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1& 3 & 1 &2 \\ 0 & 1 & -1 & -3\\ 0& -2 & 5 &12 \\ 0& -5 & -1& 3 \end{pmatrix}\longrightarrow \begin{pmatrix} 1& 3 & 1 &2 \\ 0 & 1 & -1 & -3\\ 0& 0 & 3 &6 \\ 0& 0 & -6& -12 \end{pmatrix}（第三行的2倍加到第四行）\longrightarrow \begin{pmatrix} 1& 3 & 1 &2 \\ 0 & 1 & -1 & -3\\ 0& 0 & 3 &6 \\ 0& 0 & 0& 0 \end{pmatrix} 13−1234−57124129101 ⟶ 10003−5−211−15−12312−3 ⟶ 100031−2−51−15−12−3123 ⟶ 100031001−13−62−36−12 （第三行的2倍加到第四行）⟶ 100031001−1302−360
到这个程度的时候，我们写出相应的方程组：
{ x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2 x 2 − x 3 = − 3 3 x 3 = 6 \left\{\begin{array}{ll} x_{1}+3x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{2}-x_{3}=-3 \\ 3x_{3}=6 \\ \end{array}\right. ⎩ ⎨ ⎧x1+3x2+x3=2x2−x3=−33x3=6
这种形式的方程组能够很方便解出来，这个方程组像台阶一样，称为阶梯形方程组，相应的增广矩阵称为阶梯形矩阵。
- 阶梯形方程组：
（1）元素全为0的行在下方（0行在下方）
（2）非0行第一个非0元素（首非0元）称为主元，主元的列指标（列下标）随着行指标的增加而严格地增大。
或者接着再往下做，将第三行乘 1 3 \frac{1}{3} 31
⟶ ( 1 3 1 2 0 1 − 1 − 3 0 0 1 2 0 0 0 0 ) \longrightarrow \begin{pmatrix} 1& 3 & 1 &2 \\ 0 & 1 & -1 & -3\\ 0& 0 & 1 &2 \\ 0& 0 & 0& 0 \end{pmatrix} ⟶ 100031001−1102−320
把第三行的一倍加到第二行（消去行首非0元素后面的元素）：
⟶ ( 1 3 1 2 0 1 0 − 1 0 0 1 2 0 0 0 0 ) \longrightarrow \begin{pmatrix} 1& 3 & 1 &2 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0& 0 & 1 &2 \\ 0& 0 & 0& 0 \end{pmatrix} ⟶ 1000310010102−120
第三行的-1倍加到第一行：
⟶ ( 1 3 0 0 0 1 0 − 1 0 0 1 2 0 0 0 0 ) \longrightarrow \begin{pmatrix} 1& 3 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0& 0 & 1 &2 \\ 0& 0 & 0& 0 \end{pmatrix} ⟶ 1000310000100−120
现在第一行还有一个 x 2 x_{2} x2的系数，要把3也变成0，则第二行的-3倍加到第一行
⟶ ( 1 0 0 3 0 1 0 − 1 0 0 1 2 0 0 0 0 ) \longrightarrow \begin{pmatrix} 1& 0 & 0 &3 \\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0& 0 & 1 &2 \\ 0& 0 & 0& 0 \end{pmatrix} ⟶ 1000010000103−120
由此可知 x 1 = 3 , x 2 = − 1 , x 3 = 2 x_{1}=3,x_{2}=-1,x_{3}=2 x1=3,x2=−1,x3=2
这就全用矩阵来计算解线性方程组。
此时主元都是1，主元所在列的其余元素都是0，称这样的矩阵为简化行阶梯形矩阵。