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图论------贝尔曼-福德（Bellman-Ford）算法

news 2025/7/26 9:20:37

算法概述：

Bellman-Ford算法核心代码如下

for(int i = 1;i<=n-1;i++)

for(int j = 1;j<=m;j++)

if(dic[v[j]]> dic[u[j]] + w[j]]

dic[v[j]] = dic[u[j]] + w[j];

首先我们要了解一个点就是我们这次不再使用邻接矩阵来存储图的信息，而是定义三个一维数组来存储图的信息。

首先定义 u[n] 来存储边的起点，v[n]来存储边的终点，w[n]来存储边的长（权重）。

例如存储如下元素

          4 4
        1 2 3
        2 4 7
        3 4 5
        3 1 3

和Dijkstra算法一样，这段代码也是求单源最短路径，所以我们同样也要定义一个dic[n]数组来存储所有点到1的最短距离。注意，这里因为使用的并非邻接矩阵，所以初始化dic时默认除了dic[1] = 0以外，暂时全部看作不连通，也就是假设以以上数据为例，dic内容要初始化为

【0 ，inf, inf, inf】,其中inf看作无穷大，表示不通。

那么我们再来看核心代码的最后两句。

if(dic[v[j]]> dic[u[j]] + w[j]]

dic[v[j]] = dic[u[j]] + w[j];

dic[v[j]]的值是1 到 v[j]这个点的值， dic[u[j]] 是 1 到 u[j] 这个点的值， w[j] 是 u[j] 到 v[j] 的值，意思是如果如果 1 通过 1 -> u[j] -> v[j] 这条路比 1 -> v[j] 值小的话，更新dic[v[j]]的值。也就是通过u[j] ->v[j] 这条边进行松弛来优化路径。

初始化示意图如下：

for(int i = 1;i<=n-1;i++)

for(int j = 1;j<=m;j++)

if(dic[v[j]]> dic[u[j]] + w[j]]

dic[v[j]] = dic[u[j]] + w[j];

当第一轮循环时:

当先通过 j = 1 通过第一条边进行优化时， if(dic[ 2 ] > dic[ 1 ] + 3]，发现dic[2 ] 需优化，然后

重置 dic[2] = dic[1]+3 = 3。

当 j = 2 时通过第二条边进行优化时， if(dic[ 4 ] > dic[ 2 ] + 7],发现dic[4] 可以优化，然后

重置 dic[ 4 ] = dic[ 2 ] + 7 = 3+7 = 10。

当 j = 3时，通过第三条边进行优化时，if(dic[ 4 ] > dic[ 3 ] + 5]，发现dic[4]无法优化，因为

dic[ 4 ] = 10 < dic[ 3 ] + 5 =inf + 5。

当 j = 4 时通过第四条边进行优化时， if(dic[ 1 ] > dic[ 3 ] + 3],发现dic[1]无法优化，因为

dic[ 1 ] = 0 < dic[ 3 ] + 3 =inf + 3。

最后经过一轮松弛后得到 dic = [0, 3, inf ,10];

当 i= 2 进行第二轮松弛时，

当先通过 j = 1 通过第一条边进行优化时， if(dic[ 2 ] > dic[ 1 ] + 3]，发现dic[2 ] 无需优化，因为 dic[2] = dic[1]+3 = 3。

当 j = 2 时通过第二条边进行优化时， if(dic[ 4 ] > dic[ 2 ] + 7],发现dic[4] 无需优化

当 j = 3时，通过第三条边进行优化时，if(dic[ 4 ] > dic[ 3 ] + 5]，发现dic[4]无需优化

当 j = 4 时通过第四条边进行优化时， if(dic[ 1 ] > dic[ 3 ] + 3],发现dic[1]无需优化

这样我们就完成了这组数据，因为这是构建的有向图，所以1 才无法到达 3.

既然很清晰流程了我再丢给大家一组数据：

5 7
1 2 8
1 3 1
1 4 2
3 4 2
2 4 3
3 5 3
4 5 3

现在请找到一张草稿纸来试着执行刚才所讲的流程。

具体代码：

#include<stdio.h>
int main(void)
{
   int u[10], v[10], w[10];
   int n, m, inf = 99999999;
   int dic[10] = { 0 };

scanf_s("%d%d", &n, &m);

for (int i = 1; i <= m; i++)
scanf_s("%d%d%d", &u[i], &v[i], &w[i]);//存储边的信息

for (int i = 2; i <= n; i++)
dic[i] = inf;//初始化1 的单源最短路径值。

//核心代码

   for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
       for (int j = 1; j <= m; j++)
           if (dic[v[j]] > dic[u[j]] + w[j])
               dic[v[j]] = dic[u[j]] + w[j];

for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d ", dic[i]);//输出结果
}