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【算法】动态规划解决背包问题

news 2025/7/10 4:30:01

应用场景——01背包问题

有一个背包，背包的容量为 4，现有如下物品

要求

1.目标为装入背包的总价值最大，并且重量不超出

2.要求装入的物品不能重复

动态规划算法介绍

1.动态规划算法的核心是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2.动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解

3.与分治算法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是相互独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）

4.动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解

背包问题思路分析

背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和一定重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的总价值最大。其中又分为 01背包和完全背包（完全背包指的是：每种物品都有无限件可用）

这里的问题属于 01背包，即每个物品最多放一个。而完全背包可以转化为 01背包

算法的主要思想

利用动态规划来解决，每次遍历到的第 i 个物品，根据 v[i] 和 w[i] 来确定是否需要将该物品放入到背包中。即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i] 分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面结果：

1.v[i][0] = v[0][j] = 0;

//表示填入表的第一行和第一列是 0

2.当 w[i] > j 时：v[i][j] = v[i-1][j];

//当新增商品的重量大于背包的剩余容量时，就直接使用上一单元格的策略

3.当 w[i] <= j 时： v[i][j] = max{ v[i-1][j] , v[i] + v[i-1][j-w[i]] };

当新增商品的重量小于背包的剩余容量时

v[i-1][j] 就是上一个单元格装入的最大价值

v[i] 表示当前商品的价值

v[i-1][j-w[i]] 表示把上一个商品装到剩余空间为 j-w[i] 的背包的最大价值

public class KnapsackProblem {public static void main(String[] args) {int[] w = {1, 4, 3};  //物品的价值int[] val = {1500, 3000, 2000};  //物品的重量int m = 4;  //背包的容量int n = val.length;//创建一个二维数组，表int[][] v = new int[n + 1][m + 1];//初始化第一行和第一列，在本程序中可以不做处理，因为默认值是 0for (int i = 0; i < v.length; i++) {v[i][0] = 0;  //第一列设置为 0}for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {v[0][i] = 0;  //第一行设置为 0}//根据前面得到的公式来动态规划处理for (int i = 1; i < v.length; i++) {  //不处理第一行，i 是从 1 开始的for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {  //不处理第一列，j 是从 1 开始的if (w[i-1] > j) {v[i][j] = v[i-1][j];} else {v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i-1] + v[i-1][j - w[i-1]]);}}}//输出以下 vfor (int i = 0; i < v.length; i++) {for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {System.out.print(v[i][j] + " ");}System.out.println();}}
}

为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接调用求最大值方法，需要使用 if-else 处理

以下是优化以后的代码

public class KnapsackProblem {public static void main(String[] args) {int[] w = {1, 4, 3};  //物品的价值int[] val = {1500, 3000, 2000};  //物品的重量int m = 4;  //背包的容量int n = val.length;//创建一个二维数组，表int[][] v = new int[n + 1][m + 1];//为了记录放入商品的情况，定义一个二维数组int[][] path = new int[n+1][m+1];//初始化第一行和第一列，在本程序中可以不做处理，因为默认值是 0for (int i = 0; i < v.length; i++) {v[i][0] = 0;  //第一列设置为 0}for (int i = 0; i < v[0].length; i++) {v[0][i] = 0;  //第一行设置为 0}//根据前面得到的公式来动态规划处理for (int i = 1; i < v.length; i++) {  //不处理第一行，i 是从 1 开始的for (int j = 1; j < v[0].length; j++) {  //不处理第一列，j 是从 1 开始的if (w[i-1] > j) {v[i][j] = v[i-1][j];} else {//v[i][j] = Math.max(v[i-1][j], val[i-1] + v[i-1][j - w[i-1]]);if (v[i-1][j] < val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]]) {v[i][j] = val[i-1] + v[i-1][j-w[i-1]];//把当前的情况记录到 pathpath[i][j] = 1;} else {v[i][j] = v[i-1][j];}}}}//输出以下 vfor (int i = 0; i < v.length; i++) {for (int j = 0; j < v[0].length; j++) {System.out.print(v[i][j] + " ");}System.out.println();}//输出最后放入的是哪些商品int i = path.length -1;  //行的最大下标int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标while (i > 0 && j > 0) {if (path[i][j] == 1) {System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);j -= w[i-1];}i--;}}
}