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滑模面、趋近律设计过程详解(滑模控制)

news 2025/7/15 12:05:46

1. 确定系统的状态变量和目标

首先，明确系统的状态变量 $x$ 和控制目标。状态变量通常是系统的状态向量，而控制目标可能是状态变量的某个期望值或轨迹。

2. 定义滑模面

滑模面 $s (x)$ 是一个定义在状态空间中的超平面，使得系统在该超平面上具有期望的动态行为。滑模面可以定义为系统状态的某种函数等于零的集合：
$s (x) = 0$

滑模面通常设计为系统状态误差的线性组合，例如：
$s(x) = C^T(x-x_d)$

其中， $C^T$ 为设计矩阵， $x_d$ 为期望状态。

3. 选择滑模面的参数

滑模面的参数（如矩阵 $C$ ) 的选择应保证系统状态能够被驱动到滑模面上，并沿着滑模面滑行。例如，在一阶系统中，滑模面通常设计为状态误差的比例，如 $s(x) = x-x_d$ 。对于高阶系统，滑模面可以设计为包含误差及其导数项的多项式，如：

$s(x,\dot{x}) = \dot{x} + \lambda(x-x_d) = \dot{x} + \lambda e$

其中， $\lambda$ 为设计参数， $e = x-x_d$ 为状态误差。

滑模面一般可以设计为如下的形式
$\sum_{i = 1}^{n-1}c_i x_i + x_n$

设计条件：
$p^{n-1} + c_{n-1} p^{n-2} +...+ c_2 p + c1$ 保证该多项式为Hurwit(该条件满足状态 $x$ 在 $s = 0$ 的滑模面上收敛)，满足赫尔维茨稳定性，即上述多项式的特征值实部为负，即特征值点在s左半平面。

例如：以文章滑模变结构控制仿真实例(s-function代码详解) 中的数学模型为例。即：
$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = x_3 \\ \dot{x}_3 = x_1 + x_2 x_3 + u \end{array} \right. \end{aligned}$

取n = 3，即 $s(x) = c_1 x_1+c_2 x_2 + x_3$ , 为满足Hurwitz条件，要求特征多项式 $p^2+c_2p+c1 = 0$ 的特征值实部为负，取 $c_1 = 1, c_2 = 2$ ，得多项式为 $p^2+2p+1 = 0$ ,解得两个特征根 $- 1, - 1$ 满足条件。

根据之前所说，控制器的目的是使状态变量 $x_1,x_2,x_3$ 收敛到0，我们令 $s = 0$ ，即令 $\dot{s}$ = 控制律，进而求解控制器 $u$ 。

该模型中，取 $\dot{s}$ = 趋近律，采用指数趋近律 $\dot{s} = -sgn(s)-s$ （ $s g n (s)$ 为符号函数）求得控制器 $u$
$\begin{align*} u = -sgn(s) - s -x_1 -x_2 -2x_3-x_2 x_3 \end{align*}$

4. 设计控制律

传送门：符号函数与饱和函数的滑模设计案例(s-function函数仿真)
控制律的设计目的是驱动系统状态到达滑模面并沿滑模面滑行。常见的滑模控制律形式为：

等速趋近律： $\dot{s} = -\varepsilon sgn(s)$
$\varepsilon >0, sgn(s)\,\text{为符号函数，}s>0时，sgn(s) = 1; s<0 时，sgn(s) =-1,s=0 时，sgn(s) = 0$
指数趋近律： $\dot{s} = -\varepsilon sgn(s)-ks$ ，其中 $\varepsilon > 0, k>0$
幂次趋近律： $\dot{s} = -k|s|^{\alpha}sgn(s)-ks$ , 其中， $0<\alpha<1$ 。
$\begin{aligned} 符号函数：sgn(s) = \left\{ \begin{array}{l} 1 ，&s>0\\ 0 , &s=0 \\ -1 , &s<0\\ \end{array} \right. \end{aligned}$

为了避免抖振现象，可以使用连续的近似符号函数，如饱和函数或正切函数。
$\left\{ \begin{array}{ll} 1 & s > \Delta \\ ks & |s| \leq \Delta， k = 1/\Delta\\ -1 & s < -\Delta \end{array} \right.$