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机器学习 | 回归算法原理——多项式回归

news 2025/8/26 3:01:50

Hi，大家好，我是半亩花海。接着上次的最速下降法（梯度下降法）继续更新《白话机器学习的数学》这本书的学习笔记，在此分享多项式回归这一回归算法原理。本章的回归算法原理基于《基于广告费预测点击量》项目，欢迎大家交流学习！

一、多项式回归概述

二、案例分析

1. 设置问题

2. 定义模型

3. 多项式回归

一、多项式回归概述

多项式回归是一种基于多项式函数的回归分析方法，用于拟合数据中的非线性关系。与简单的线性回归不同，多项式回归通过引入多项式项来建模数据的非线性特征，从而提高了模型的灵活性和适用性。

二、案例分析

1. 设置问题

还记得前两节我们定义的用于预测的一次函数吗？

$f_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x$

因为是一次函数，所以它的图像是直线。

不过，对于一开始我在图中添加的数据点来说，直线一定是最好的拟合方式吗？曲线拟合的效果会更好吗？

2. 定义模型

通过清晰直观地观察下图，并经过探索我们会发现，其实曲线相对来说会比直线拟合得更好。

如此看来，曲线似乎看起来更拟合数据。在此，我们可以把 $f_\theta(x)$ 定义为二次函数，便能用它来表示这条曲线，如下所示：

$f_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x+\theta_2 x^2$

再或者，用更大次数的表达式也可以。这样就能表示更复杂的曲线了，如下所示：

$f_\theta(x)=\theta_0+\theta_1 x+\theta_2 x^2+\theta_3 x^3+\cdots+\theta_n x^n$

在找出最合适的表达式之前，需要不断地去尝试。当然这里有个误区，并不是说函数次数越大，拟合得就越好，难免也会出现过拟合的问题（在深度学习中会接触到）。

3. 多项式回归

回到我们定义的二次函数中，我们增加了 $\theta _2$ 这个参数，接下来得需要推导出 $\theta _2$ 更新表达式，和上一节《机器学习 | 回归算法原理——最速下降法（梯度下降法）-CSDN博客》里面的原理一样，用目标函数对 $\theta _2$ 进行偏微分便就能求出来。

设 $u=E(\theta)$ 、 $v=f_\theta(x)$ ，再将 $u$ 对 $\theta _2$ 偏微分，求出更新表达式。 $u$ 对 $v$ 微分即 $\frac{\partial u}{\partial v}$ 的部分应该和前一节里的求法是一样的，如下式。

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial v} & =\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\left(y^{(i)}-v\right)^2\right) \\ & =\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial}{\partial v}\left(y^{(i)}-v\right)^2\right) \\ & =\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial}{\partial v}\left(y^{(i)^2}-2 y^{(i)} v+v^2\right)\right) \\ & =\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n\left(-2 y^{(i)}+2 v\right) \\ & =\sum_{i=1}^n\left(v-y^{(i)}\right) \end{aligned}$

所以我们只要求 $v$ 对 $\theta _2$ 的微分即可，如下式。

$\begin{aligned} \frac{\partial v}{\partial \theta_2} & =\frac{\partial}{\partial \theta_2}\left(\theta_0+\theta_1 x+\theta_2 x^2\right) \\ & =x^2 \end{aligned}$

得出最终的参数更新表达式如下所示：

$\begin{aligned} & \theta_0:=\theta_0-\eta \sum_{i=1}^n\left(f_\theta\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \\ & \theta_1:=\theta_1-\eta \sum_{i=1}^n\left(f_\theta\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) x^{(i)} \\ & \theta_2:=\theta_2-\eta \sum_{i=1}^n\left(f_\theta\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) x^{(i)^2} \end{aligned}$