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快速幂算法

news 2025/8/31 19:09:28

快速幂算法

文章目录

快速幂算法
- 一、简单介绍
- 二、计算 $7^{10}$
- 三、一般化
- - 1、计算 $a^n$ 的快速方法：
  - 2、时间复杂度分析：
- 四、代码
- 五、参考资料

一、简单介绍

快速幂（Exponentiation by squaring，平方求幂）是一种简单而有效的小算法，它可以以 $O(log_n)$ 的时间复杂度计算乘方。快速幂不仅本身非常常见，而且后续很多算法也都会用到快速幂。

二、计算 $7^{10}$

让我们先来思考一个问题：7的10次方，怎样算比较快？

最朴素的想法，77=49，497=343，… 一步一步算，共进行了9次乘法。这样算无疑太慢了，尤其对计算机的CPU而言，每次运算只乘上一个个位数，无疑太屈才了。这时我们想到，也许可以拆分问题。

我们换一个角度来引入快速幂。还是7的10次方，但这次，我们把10写成二进制的形式，也就是 1010。于是这个问题就变成了求7的二进制（1010）次幂。这样就只需要计算4次，相比于9次，大大提升了效率。

做法：计算 $7^{10}$ ，也就是计算 $71010=7(1000)2×7(10)2=17(8)10××7(2)107^{1010} = 7^{(1000)_2} \times 7^{(10)_2} = 17^{(8)_{10}} \times \times 7^{(2)_{10}}$ ，那么只需要计算 $7^{(8)_{10}}+7^{(2)_{10}}$ 。更一般化，只需要计算 $7^{2^{0}},7^{2^{1}},7^{2^{2}},...,7^{2^{n}}$ 。

三、一般化

1、计算 $a^n$ 的快速方法：

（1）将 $n$ 转化成二进制形式，例如1011010

（2）转化后的形式为 $a(xkxk−1...x2x1x0)2=axk0...00×a0xk−1...00×a00...10×a00...01a^{(x_kx_{k-1}...x_2x_1x_0)_2} = a^{x_k0...00} \times a^{0x_{k-1}...00} \times a^{00...10} \times a^{00...01}$ .

（3）需要计算的数值为 $a^{1},a^{2},a^{4},a^{8},....,a^{2^{n}}$ .

2、时间复杂度分析：

一般求解 $a^n$ 时，需要计算n次。但是使用快速幂算法之后，将 $n$ 表示成二进制只需要 $O(log_n)$ 位数字，只需要计算 $O(log_n)$ 次。

四、代码

public static Long quickPow(Long a,Long n,Long p){//结果Long res = 1L;while (n != 0) {//判断 n 的二进制的最后一位是否为0if((n&1)!=0){//当n的二进制最后一位为1时，乘以当前的权重res = (res*a)%p;}//更新n，每次n向右移一位n = n >> 1;//更新每一位的权重a = (a*a)%p;}return res;
}