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求“二维随机变量的期望E(X)与方差D(X)”例题（一）

news 2025/9/8 21:10:58

离散型

设随机变量(X,Y)的联合分布律为

X\Y	0	1
0	0.1	0.2
1	0.3	0.4

(1)求E(X)

先求x的边缘分布律，表格里x=0的概率为0.1+0.2，于是我们可得

X	0	1
P	0.3	0.7

直接求E(X)即可，得到结果 $0 \times 0.3 + 1 \times 0.7 = 0.7$

(2)求E(XY)

直接x与y相乘就行。

$E(XY)=(0 \times 0 \times 0.1)+(0 \times 1 \times 0.2 )+(1 \times 0 \times 0.3)+(1 \times 1 \times 0.4)=0.4$

记得别乘多了，别 $X=0,Y=0$ 的算了又算遍 $Y=0,X=0$ 。

(3）求E(X+Y)

和上面一样，x与y相加就行。

$E(X+Y)=(0 + 0 \times 0.1)+(0 + 1 \times 0.2 )+(1 + 0 \times 0.3)+(1 + 1 \times 0.4)=1.3$

连续型

已知随机变量(X,Y)的概率密度 $f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 2x+2y ,\ 0\leq y\leq x \leq 1 & & \\ 0 \ ,other & & \end{matrix}\right.$ 。

(1)求E(X)

和求一维连续型随机变量的步骤差不多。把E(X)的x当作g(x)，然后求个这个二重积分 $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)\cdot f(x)dxdy$ 即可。

由于函数在除了[0,1]的区间上都为0，对其积分也为0。同时x和y的上下限都已经给出。我们可以得到 $\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}x\cdot (2x+2y)dy$ 。

关于二重积分的相关知识在高数下。这里作简述：这里的二重积分是化成了x型。也就是把dx往前提；然后先写x的取值范围再写y的取值范围。由于x是自变量所以上下限应与y无关。所以这里是[0,1]而不是[y,1]。而y是因变量，所以上下限为[0,x]。所要求的式子与dy放在一起。然后就变成了求解定积分--先求对y的积分，再对得出来的结果求x的积分。

运算过程太多，这里写关键的。即

$\\ \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}x\cdot (2x+2y)dy= \int_{0}^{1}dx \ (2x^2y+xy^2)\left.\begin{matrix} \\ \ \end{matrix}\right|^x_{0}\\ \int_{0}^{1}(2x^3+x^3-(0+0))dx \ = \int_{0}^{1}(3x^3)dx=\frac{3}{4} \times 1 - \frac{3}{4} \times 0 = \frac{3}{4}$