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Python | 中心极限定理介绍及实现

news 2025/8/4 12:17:26

统计学是数据科学项目的重要组成部分。每当我们想从数据集的样本中对数据集的总体进行任何推断，从数据集中收集信息，或者对数据集的参数进行任何假设时，我们都会使用统计工具。

中心极限定理

定义：中心极限定理，通俗地来说，就是研究独立随机变量和的极限分布为正态分布的问题。在自然界和生产中，许多现象受到许多相互独立的随机因素的影响。当每个因素的影响都很微小时，这些因素产生的总影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。

具体来说，中心极限定理表明，无论随机变量的初始分布是什么，只要我们对这些随机变量进行大量的独立抽取，并将这些随机变量加起来，那么这些总和的分布就会接近正态分布。这种规律在我们的生活中也随处可见，比如人的身高、体重等数据的分布都近似于正态分布。

举个例子：

假设有一个班级，其中学生的成绩是随机变量，每个学生都是一个独立的随机变量。如果我们把所有学生的成绩加起来，并计算平均分，那么这个平均分的分布就会接近正态分布。

具体来说，我们可以将每个学生的成绩看作是一个独立的随机变量，每个随机变量都有自己的分布。如果我们把所有学生的成绩加起来，那么这个总和就是一个随机变量。根据中心极限定理，这个总和的分布就会接近正态分布。

这个例子可以用来解释为什么大多数情况下，班级的平均分分布会呈现出一个类似于正态分布的形状。这是因为每个学生的成绩都是独立的随机变量，而这些随机变量的总和近似于正态分布。

应用场景

中心极限定理在数理统计和概率论中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：

验证数据是否满足正态分布：如果数据符合正态分布的条件，则可以使用相关的统计方法进行分析。而如果数据不符合正态分布的条件，就需要采用其他的统计方法进行分析。
求解总体参数：中心极限定理可以用于求解总体的均值和方差等参数。通过对样本进行一些简单的统计分析，就可以根据中心极限定理的推导，得到总体的均值和方差等参数的近似值。
构造置信区间：当对总体参数进行估计时，可以使用中心极限定理的知识，构造置信区间进行区间估计，从而提高估计的可靠性。
应用于大样本：在处理大样本时，中心极限定理是非常重要的工具。它能够证明在样本容量足够大的情况下，样本均值的分布近似于正态分布，从而可以应用正态分布的统计性质进行各种统计推断。
解决实际问题：中心极限定理可以用于解决许多实际问题，例如金融领域中的风险评估、医学领域中的临床试验、生产制造中的质量控制等。在这些领域中，中心极限定理可以帮助我们理解数据的分布规律，并进行更准确的预测和决策。

总之，中心极限定理是概率论中的一组非常重要的定理，它揭示了大量随机变量之和的分布规律，并广泛应用于数理统计学、误差分析、自然与生产现象的解释等领域。在实际应用中，它可以用于验证数据的分布、求解总体参数、构造置信区间、应用于大样本以及解决各种实际问题。

中心极限定理的Python实现

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt# number of sample
num = [1, 10, 50, 100] 
# list of sample means
means = [] # Generating 1, 10, 30, 100 random numbers from -40 to 40
# taking their mean and appending it to list means.
for j in num:# Generating seed so that we can get same result # every time the loop is run...numpy.random.seed(1)x = [numpy.mean(numpy.random.randint(-40, 40, j)) for _i in range(1000)]means.append(x)
k = 0# plotting all the means in one figure
fig, ax = plt.subplots(2, 2, figsize =(8, 8))
for i in range(0, 2):for j in range(0, 2):# Histogram for each x stored in meansax[i, j].hist(means[k], 10, density = True)ax[i, j].set_title(label = num[k])k = k + 1
plt.show()