2024年全国一高考数学压轴题
(3) 证明: 显然, 等差数列 { a 1 , . . . , a 4 n + 2 } \{a_{1},...,a_{4n+2}\} {a1,...,a4n+2} 是 ( i , j ) (i, j) (i,j)-可分的等价于等差数列 { 1 , . . . , 4 n + 2 } \{1,...,4n+2\} {1,...,4n+2} 是 ( i , j ) (i,j) (i,j)-可分的. 前推后显然, 我们考虑后推前, 在去掉第 i i i 和 j j j 项后, 若一个分割方案把 { 1 , . . . , 4 n + 2 } \{1,...,4n+2\} {1,...,4n+2} 分割成 n n n 个长为4的等差数列, 那么该分割方案也必然把 { a 1 , . . . , a 4 n + 2 } \{a_{1},...,a_{4n+2}\} {a1,...,a4n+2} 分割成 n n n 个长为4的等差数列, 因此二者等价.
考虑使得 { 1 , . . . , 4 n + 2 } \{1,...,4n+2\} {1,...,4n+2} ( i , j ) (i,j) (i,j)-可分的 ( i , j ) (i,j) (i,j) 的可行取值数目:
当 n = 1 n=1 n=1 时, 通过穷举, ( i , j ) (i,j) (i,j) 可取 ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2), ( 1 , 6 ) (1,6) (1,6), ( 5 , 6 ) (5,6) (5,6). 当 n = k n=k n=k 时, 设 ( i , j ) (i,j) (i,j) 有 x k x_k xk 个可行取值, 考虑当 n = k + 1 n = k+1 n=k+1 时: { 1 , . . . , 4 k + 6 } \{1,...,4k+6\} {1,...,4k+6} 的前 4 4 4 项和后 4 k + 2 4k+2 4k+2 项分别构成两个等差数列. 由此易知, 将 n = k n=k n=k 时的每个 ( i , j ) (i,j) (i,j) 可行取值整体加 4 4 4, 就构成了当前的一个可行取值. 容易验证, 每个 i , j > 4 i,j>4 i,j>4 的可行取值都可以视为这么得到的. 接下来我们考虑 i < 4 i<4 i<4 的可行取值. 依然是枚举, 令 i i i 取 1 1 1, j j j 取 ( 1 , 4 s + 2 ) (1, 4s+2) (1,4s+2), 其中 0 ≤ s ≤ n 0\leq s \leq n 0≤s≤n, 此时 i i i, j j j 之间的数的个数为 4 4 4 的整数倍, j + 1 j+1 j+1 到 4 n + 2 4n+2 4n+2 之间数的个数为 4 4 4 的整数倍, 显然这个 ( i , j ) (i,j) (i,j) 的取值是可行的, 即 ( 1 , 4 s + 2 ) (1, 4s+2) (1,4s+2), 0 ≤ s ≤ n 0\leq s \leq n 0≤s≤n 是可行的. 设 2 ≤ d ≤ n 2\leq d\leq n 2≤d≤n, 则 1 1 1 到 4 d 4d 4d 刚好可以分成 d d d 个长度为4的等差数列 { 1 , . . . , 1 + 3 d } \{1,...,1+3d\} {1,...,1+3d}, { 2 , . . . , 2 + 3 d } \{2,...,2+3d\} {2,...,2+3d}, …, { d , . . . , 4 d } \{d,...,4d\} {d,...,4d}, 2 + 4 d 2+4d 2+4d 与 4 d 4d 4d 之间刚好隔了一个数 4 d + 1 4d+1 4d+1, 去除 2 2 2 和 4 d + 1 4d+1 4d+1, 1 1 1 到 4 d + 2 4d+2 4d+2 也可以分成 d d d 个长度为 4 4 4 的等差数列 { 1 , . . . , 1 + 3 d } \{1,...,1+3d\} {1,...,1+3d}, { 2 + d , . . . , 2 + 4 d } \{2+d,...,2+4d\} {2+d,...,2+4d}, …, { d , . . . , 4 d } \{d,...,4d\} {d,...,4d}. 令 i i i 取 2 2 2, j = 4 d + 1 j=4d+1 j=4d+1, 则去除 i i i 和 j j j 后 1 1 1 到 4 d + 2 4d+2 4d+2 也刚好可以分成 4 4 4 个长度为 4 4 4 的等差数列, 剩下的数相邻四个为一组可以分成长度为 4 4 4 的若干等差数列, 所以此时的 ( i , j ) (i,j) (i,j) 取值是可行的, 即 ( 2 , 4 d + 1 ) (2, 4d+1) (2,4d+1), 2 ≤ d ≤ n 2\leq d \leq n 2≤d≤n 是可行的. 因此 n = k + 1 n=k+1 n=k+1 时的可行取值数目至少为 x k + 1 = x k + 2 k + 2 x_{k+1}=x_k+2k+2 xk+1=xk+2k+2. 递推可得 x k + 1 ≥ 3 + 2 ( 1 + . . . + k ) + 2 k = k 2 + 3 k + 3 x_{k+1} \geq 3+2(1+...+k)+2k=k^2+3k+3 xk+1≥3+2(1+...+k)+2k=k2+3k+3.
综上, 尽管没求出可行取值的具体数目, 但可知其下界为 n 2 + n + 1 n^2+n+1 n2+n+1. 使得数列 { a 1 , . . . , a 4 m + 2 } \{a_1,...,a_{4m+2}\} {a1,...,a4m+2} ( i , j ) (i,j) (i,j)-可分的 ( i , j ) (i,j) (i,j) 可行取值数目至少为 m 2 + m + 1 m^2+m+1 m2+m+1. 所以随机抽取两个 1 1 1 到 4 m + 2 4m+2 4m+2 的数 ( i , j ) (i, j) (i,j), 其使得 { a 1 , . . . , a 4 m + 2 } \{a_1,...,a_{4m+2}\} {a1,...,a4m+2} ( i , j ) (i,j) (i,j)-可分的概率至少为:
m 2 + m + 1 ( 2 m + 1 ) ( 4 m + 1 ) = m 2 + m + 1 8 m 2 + 6 m + 1 > 1 8 \frac{m^2+m+1}{(2m+1)(4m+1)}=\frac{m^2+m+1}{8m^2+6m+1}\gt \frac{1}{8} (2m+1)(4m+1)m2+m+1=8m2+6m+1m2+m+1>81
PS: 不是数学专业的… 只是喜欢数学的工科生而已. 没做出来, 想到了用数学归纳法做, 但是令 i = 2 i=2 i=2的时候, 试出来 j = 5 j=5 j=5是不可行的, 13 + 12 n 13+12n 13+12n 是可行的, 所以认为是隔 12 12 12 一个, 没想到5只是一个特例而已, 实际上9之后就可以, 被误导了方向, 他如果第二问是让证 ( 2 , 9 ) (2,9) (2,9) 或许就做出来了. 本16届表示上学的时候压根没见过这样的题, 而且现在选修三选一怎么没了?