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不含一阶导数项的线性二阶微分方程的通解

news 2025/7/22 0:24:37

假设这里有一个线性二阶微分等式，形式如下：

$y^{''}+F(\theta)y=f(\theta)$ （1）

其中 $F$ 是连续的， $f$ 是在实闭区间是 $\theta_{0}\leq \theta \leq \theta_{f}$ 连续的,如果有人倾向于推广，在相对假弱的假设下，这个结果能够被发现。如果 $\varphi_{1},\varphi_{2}$ 是下列其次线性方程的任意两个线性无关的解

$y^{''}+F(\theta)y=0$ （2）

于是，关于 $\varphi_{1},\varphi_{2}$ 的朗斯基行列式被定义为 $\varphi_{1}\varphi_{2}^{'}-\varphi_{2}\varphi_{1}^{'}$ ，很显然是一个常值 $\theta_{0}\leq \theta \leq \theta_{f}$ ，因为

$(\varphi_{1}\varphi_{2}^{'}-\varphi_{2}\varphi_{1}^{'})^{'}=\varphi_{1}\varphi_{2}^{''}-\varphi_{2}\varphi_{1}^{''}=-F\varphi_{1}\varphi_{2}+F\varphi_{1}\varphi_{2}=0$ （3）

因为 $\varphi_{1},\varphi_{2}$ 能够被任意非零的常数乘，它是可能的来归一化这些常值使其满足

$\varphi_{1}\varphi_{2}^{'}-\varphi_{2}\varphi_{1}^{'}=1,\theta_{0}\leq\theta\leq\theta_{f}$ （4）

因此， $\varphi_{1},\varphi_{2}$ 代表线性方程（2）的线性独立解，并且满足（4）式。

引入一个新的函数，让我们联想到朗斯基行列式，但是与 $f$ 有关，按如下形式定义：

$w(f)=S(\varphi_{1}f)\varphi_{2}-S(\varphi_{2}f)\varphi_{1}$ （5）

其中 $S(\varphi_{1}f)=\int_{\theta_{0}}^{\theta}\varphi_{1}(\tau)f(\tau)\textup{d}\tau,S(\varphi_{2}f)=\int_{\theta_{0}}^{\theta}\varphi_{2}(\tau)f(\tau)\textup{d}\tau$