3.整数运算
系列文章目录
信息的表示和处理 :
- Information Storage（信息存储）
- Integer Representation（整数表示）
- Integer Arithmetic（整数运算）
- Floating Point（浮点数）
文章目录
- 系列文章目录
- 前言
- 一、无符号数的加法（Unsigned Addition）
- 二、无符号数加法逆元
- 三、补码的加法（Two's Complement Addition）
- 四、补码的逆元
- 五、乘法
- 六、乘以常数（Multiply by Constants）
- 七、除以2（Dividing by Powers of 2）
- 总结
- 参考文献：
前言
本文参考书籍是《深入理解计算机系统 3th 中文版》，本文的图片大多是参考和来自于b站up主九曲阑干。非常感谢大佬，侵权删。
本篇文章会提到部分整数数据和算数操作的术语，详情可见2.整数表示的前言部分。
一、无符号数的加法（Unsigned Addition）
先来看一个例子：
unsigned char a = 255;
unsigned char b = 1;unsigned cahr c = a + b;
printf("c = %d", c)
运行结果： c = 0
下面是这样一个无符号数加法的总结性结论：
考虑溢出，C 语言不会将溢出作为错误发出信号
当 x+y >= 2^w， 实际结果为 s = x+y-2^w
对任意的 x+y，s = (x+y) % 2^w
上述代码是判断是否溢出，证明略
二、无符号数加法逆元
根据逆元的定义好理解，但是从常识来讲不好理解
三、补码的加法（Two’s Complement Addition）
正溢出：
char x = 127;
char y = 1;char z = a + b;
printf("z=%d", z);
运行结果：z = -128
解释：
负溢出：
如何判断溢出：
四、补码的逆元
这个知识点是没啥用又不太好理解的知识点，略过
五、乘法
正常的乘法：
无符号数的乘法：
补码的乘法：
举一个3-bit的乘法：
可以看到，当相同的二进制位（binary）它们分别用不同的表示方式（无符号数，补码）相乘，在位层面上是一样的吗？
证明：
六、乘以常数（Multiply by Constants）
相当于10进制里面移动小数点
为什么会这样？？？
举一个例子：
七、除以2（Dividing by Powers of 2）
注意：补码和无符号数的右移
证明略
这里有个特殊点：
这里我们期望得到的是-771而不是-772（直接向右算数移动四位）。
首先，我们为什么这么期望？因为有如下规则（向0舍弃）：
为了满足这种规则，如果x小于0，移位之前要加上一个bias
这个bias的值是( 1 << k ) - 1
总结
- 无符号数加法可能会导致溢出
- 无符号数的加法逆元和补码逆元（鸡肋）
- 补码的加法：
- 正溢出
- 负溢出
- 无符号数的乘法，和补码的乘法
- 乘以常数，可以用左移。甚至可以拆分常数将其弄成
2^k的组合形式 - 除以
2^k：- 正数就逻辑右移
- 负数加上bias再算数右移（bias的作用就是使得结果向0舍入）
- 上面的乘以和除以
2^k就可以用小数点移位去理解，就相当于是10进制中的乘和除以10^k
参考文献：
- 《深入理解计算机系统 3th 中文版》
- b站up主九曲阑干