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【数据结构】非线性结构---二叉树

news 2025/9/12 5:10:21

1、树

1.1 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.2 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。其中最常用的是孩子兄弟表示法。

 typedef int DataType;struct Node{struct Node* _firstChild1;  // 第一个孩子结点  struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点  DataType _data;  // 结点中的数据域            };

2.二叉树概念及结构

2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.2特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。

满二叉树：每一层都是满的，结点个数为2^h-1

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

完全二叉树：前n-1层都是满的，最后一层可以不满，但是从左到右是连续的，结点范围[2^(h-1), 2^h-1]

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有个结点2^(i-1).

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1.

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0 , 度为2的分支结点个数为n0=n2+1.

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= ,则有＝ . (ps：＋1 是log以2 为底，n+1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

2. 若2i+1=n否则无左孩子

3. 若2i+2=n否则无右孩子

3.二叉树的顺序结构及实现

3.1 二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

3.2 堆的概念及结构

一个集合所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，堆中某个节点的值总是小于或等于其父节点的值是大堆，堆中某个节点的值总是大于或等于其父节点的值是小堆。

3.3 堆的实现

#include "Heap.h"void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = (Datatype*)malloc(sizeof(Datatype) * 4);if (php->a == NULL){perror("malloc fail");return;}php->size = 0;php->capacity = 4;
}void HPInitArray(HP* php, int* a, int n)
{assert(php);php->a = (Datatype*)malloc(sizeof(Datatype) * n);if (php->a == NULL){perror("malloc fail");return;}php->size = n;php->capacity = n;for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i++){AdjustDown(php->a, php->size, i);}
}void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}void Swap(Datatype* p1, Datatype* p2)
{Datatype tmp = p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//除了child，前面的数据都构成堆
void AdjustUp(Datatype* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] > a[parent])// 大堆{Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//左右子树都构成大堆或小堆
void AdjustDown(Datatype* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])//大堆{++child;}if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}}void HPPush(HP* php, Datatype x) 
{assert(php);if (php->size == php->capacity){Datatype* tmp = (Datatype*)realloc(php->a, sizeof(Datatype)*php->capacity*2);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->a = tmp;php->capacity *= 2;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(!PHEmpty(php));//和最后一个数据交换Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size - 1, 0);}Datatype HPTop(HP* php)
{assert(php);return php->a[0];
}bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}int HPSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}//堆排序--升序--建大堆
void HPSort(int* a, int n) 
{建堆--向上调整--O(NlogN)//for (int i = 1; i < n; i++)//{//	AdjustUp(a, i);//}//建堆--向下调整--O(N)for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}//实现排序--O(NlogN)int end = n - 1;while (end > 0){Swap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}
}

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