Frechet分布
Frechet分布是一种连续概率分布，它是极值统计中的一个重要模型，尤其在分析极端事件（如洪水、地震、金融市场中的极端波动）的最大值极限分布时扮演关键角色。Frechet分布属于极值分布的三种基本类型（I型、II型、III型）中的II型分布。
Frechet分布的概率密度函数（PDF）对于变量X和参数λ>0（形状参数）、α>0（尺度参数）、θ（位置参数）可表示为：
[ f ( x ; λ , α , θ ) = { 0 x ≤ θ ; λ α ( x − θ α ) − λ − 1 e − ( x − θ α ) − λ x > θ ] [ f(x; \lambda, \alpha, \theta) = \begin{cases} 0 & x \leq \theta \ ; \frac{\lambda}{\alpha} \left( \frac{x-\theta}{\alpha} \right)^{-\lambda - 1} e^{-\left(\frac{x-\theta}{\alpha}\right)^{-\lambda}} & x > \theta \end{cases} ] [f(x;λ,α,θ)={0x≤θ ;αλ(αx−θ)−λ−1e−(αx−θ)−λx>θ]
累积分布函数（CDF）则为：
[ F ( x ; λ , α , θ ) = { 0 x ≤ θ ; e − ( θ − x α ) − λ x > θ ] [ F(x; \lambda, \alpha, \theta) = \begin{cases} 0 & x \leq \theta \ ; e^{-\left(\frac{\theta-x}{\alpha}\right)^{-\lambda}} & x > \theta \end{cases} ] [F(x;λ,α,θ)={0x≤θ ;e−(αθ−x)−λx>θ]
当位置参数θ=0时，我们得到的是简化版的标准Frechet分布，此时分布仅依赖于形状参数λ和尺度参数α。
Frechet分布的一个显著特征是其尾部比正态分布更厚，即存在较重的尾部，这意味着相比于正态分布，极端值出现的可能性更大。在实际应用中，通过分析数据集中的极端值，可以判断是否符合Frechet分布，并据此对未来的极端事件做出预测或风险评估。