代码随想录算法训练营day38|理论基础、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯

理论基础 

动态规划：如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，要搞清楚以下几点：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

动态规划五部曲：

1.确定dp[i]的含义：第i个数的斐波那契数值为dp[i]

2.确定递推公式：dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]

3.dp数组如何初始化：dp[0]=0,dp[1]=1

4.遍历顺序：从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5.举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n < 2:return 0dp = [0]* (n+1)dp[0]=0dp[1]=1for i in range(2,n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]

也可以只维护两个数值：

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n <= 1:return ndp = [0, 1]for i in range(2, n + 1):total = dp[0] + dp[1]dp[0] = dp[1]dp[1] = totalreturn dp[1]

 递归法：

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n == 0:return 0if n== 1:return 1return self.fib(n-1)+self.fib(n-2)

到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划

1.确定dp[i]的含义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2.确定递推公式：dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]

3.dp数组如何初始化：dp[1]=1,dp[2]=2

4.遍历顺序：从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5.举例推导dp数组

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:dp = [0]*(n+1)dp[1] = 1dp[2] = 2for i in range(3,n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]

1.确定dp[i]的含义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2.确定递推公式：dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])

3.dp数组如何初始化：dp[0]=0,dp[1]=0

4.遍历顺序：从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5.举例推导dp数组

class Solution:def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:dp = [0]*(len(cost)+1)dp[0] = 0dp[1] = 0for i in range(2,len(cost)+1):dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])return dp[len(cost)]