图形学：Transform矩阵（3维 2维） 平移，旋转，缩放
0. 简介
在图形学领域中，Transform矩阵（变换矩阵）是一种表示图形对象在二维或三维空间中的位置、方向和大小变化的数学工具。它们用于执行各种图形变换，如平移、旋转、缩放。Transform矩阵通常表示为一个二维或三维矩阵，具体形式取决于空间的维度。
0.1 二维变换矩阵
- 在二维图形学中，通常使用
3x3的矩阵表示变换，其中最后一行通常是[0, 0, 1]，因为二维变换不影响z轴。这个矩阵可以表示平移、旋转、缩放和剪切。 - 例如，一个简单的二维平移矩阵可以写成：
[ 1 0 tx ][ 0 1 ty ][ 0 0 1 ]
其中tx和ty是平移的水平和垂直距离。
0.2 三维变换矩阵
- 在三维图形学中，通常使用
4x4的矩阵表示变换，其中最后一列通常是[0, 0, 0, 1]。这种矩阵可以表示平移、旋转、缩放以及更复杂的变换。 - 一个简单的三维平移矩阵可以写成：
[ 1 0 0 tx ][ 0 1 0 ty ][ 0 0 1 tz ][ 0 0 0 1 ]
其中tx、ty和tz是平移的x、y和z轴距离。
不管是二维变换矩阵还是三维变换矩阵，它的最后一行都是齐次坐标，通常是[0, ... , 1]用于处理齐次坐标，使得可以用矩阵乘法来同时处理旋转和平移。
1. 举个例子
1.1 平移
给定的初始 Transform 矩阵如下：
[ 1 0 0 tx ]
[ 0 1 0 ty ]
[ 0 0 1 tz ]
[ 0 0 0 1 ]
希望在 x 轴增加 2 个单位，y 轴增加 1 个单位，z 轴减小 3 个单位。
1.1.1 计算过程
- 对 x 轴进行增加 2 个单位： 可以将 tx（原始平移量）增加 2 个单位。
- 对 y 轴进行增加 1 个单位： 将 ty（原始平移量）增加 1 个单位。
- 对 z 轴进行减小 3 个单位： 要使物体沿 z 轴负方向移动，需要将 tz 减小 3 个单位。
1.1.2 计算结果
[ 1 0 0 tx + 2 ]
[ 0 1 0 ty + 1 ]
[ 0 0 1 tz - 3 ]
[ 0 0 0 1 ]
这个新的矩阵表示了对原始物体进行了所需的平移操作。
1.2 旋转
1.2.1 2维旋转矩阵
```css
[ cos(θ) -sin(θ) ]
[ sin(θ) cos(θ) ]
1.2.1 3维旋转矩阵
- 绕x轴旋转矩阵
[ 1 0 0 0 ]
[ 0 cos(θ) -sin(θ) 0 ]
[ 0 sin(θ) cos(θ) 0 ]
[ 0 0 0 1 ]
- z轴旋转
[ cos(θ) -sin(θ) 0 0 ]
[ sin(θ) cos(θ) 0 0 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ 0 0 0 1 ]
- 绕y轴旋转
[ cos(θ) 0 sin(θ) 0 ]
[ 0 1 0 0 ]
[-sin(θ) 0 cos(θ) 0 ]
[ 0 0 0 1 ]
原始的Transform矩阵T与旋转矩阵R相乘，得到新的Transform矩阵 T'
T' = T * R
1.3 缩放
1.3.1 缩放矩阵
[ sx 0 0 0 ]
[ 0 sy 0 0 ]
[ 0 0 sz 0 ]
[ 0 0 0 1 ]
原始的Transform矩阵T与缩放矩阵S相乘，得到新的Transform矩阵 T'
T' = T * S