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瑞_数据结构与算法_二叉搜索树

news 2025/7/6 2:41:33

文章目录

- 1 什么是二叉搜索树
- - 1.1 二叉搜索树的特征
  - 1.2 前驱后继
- 2 二叉搜索树的Java实现
- - 2.1 定义二叉搜索树节点类BSTNode
  - - 泛型key改进
  - 2.2 实现查找方法get(int key)
  - - 递归实现
    - 非递归实现 ★
    - 非递归实现泛型key版本
  - 2.3 实现查找最小方法min()
  - - 递归实现
    - 非递归实现 ★
  - 2.4 实现查找最大方法max()
  - - 递归实现
    - 非递归实现 ★
  - 2.5 实现新增方法put(int key, Object value)
  - - 递归实现
    - 非递归实现 ★
  - 2.6 实现查找关键字的前任值predecessor(int key)
  - 2.7 查找关键字的后任值successor(int key)
  - 2.8 根据关键字删除remove(int key)
  - - 非递归实现 ★
    - 递归实现
- 3 二叉搜索树——范围查询
- - 3.1 找所有小于索引的值less(int key)
  - 3.2 找所有大于索引的值greater(int key)
  - 3.3 找范围值between(int key1, int key2)
  - 3.3 小结

🙊前言：本文章为瑞_系列专栏之《数据结构与算法》的二叉搜索树篇。由于博主是从B站黑马程序员的《数据结构与算法》学习到的相关知识，所以本系列专栏主要针对该课程进行笔记总结和拓展，文中的部分原理及图解也是来源于黑马提供的资料。本文仅供大家交流、学习及研究使用，禁止用于商业用途，违者必究！

在这里插入图片描述

1 什么是二叉搜索树

二叉搜索树最早是由Bernoulli兄弟在18世纪中提出的，但是真正推广和应用该数据结构的是1960年代的D.L. Gries。他的著作《The Science of Programming》中详细介绍了二叉搜索树的实现和应用。

在计算机科学的发展中，二叉搜索树成为了一种非常基础的数据结构，被广泛应用在各种领域，包括搜索、排序、数据库索引等。随着计算机算力的提升和对数据结构的深入研究，二叉搜索树也不断被优化和扩展，例如AVL树、红黑树等。

1.1 二叉搜索树的特征

二叉搜索树（也称二叉排序树）是符合下面特征的二叉树：

树节点增加 key 属性，用来比较谁大谁小，key 不可以重复
对于任意一个树节点，它的 key 比左子树的 key 都大，同时也比右子树的 key 都小，例如下图所示：

在这里插入图片描述

轻易看出要查找 7 （从根开始）自然就可应用二分查找算法，只需三次比较

与 4 比，较之大，向右找
与 6 比，较之大，继续向右找
与 7 比，相等，即找到

查找的时间复杂度与树高相关，插入、删除也是如此。

如果这棵树长得还不赖（左右平衡）如上图，那么时间复杂度均是 $O(\log{N})$
当然，这棵树如果长得丑（左右高度相差过大）如下图，那么这时是最糟的情况（链表），时间复杂度是 $O (N)$

在这里插入图片描述

注：

二叉搜索树 - 英文 binary search tree，简称 BST
二叉排序树 - 英文 binary ordered tree 或 binary sorted tree
二叉树的相关知识可以参考博客：《瑞_数据结构与算法_二叉树》
二分查找的相关知识可以参考博客：瑞_数据结构与算法_二分查找

1.2 前驱后继

前驱值（前任值）：找到一个离该节点最近且比该节点存储值小的值
后继值（后任值）：找到一个离该节点最近且比该节点存储值大的值

2 二叉搜索树的Java实现

以简单实现为主，主要是学习其思想，和Java中的Map集合实现的思维类似，通过key查找value

内部节点类BSTNode中含有属性：

索引
存储值
左孩子
右孩子属性

BSTTree二叉搜索树类含有方法：

查找关键字对应的值get(int key)
查找最小关键字对应值min()
查找最大关键字对应值max()
存储关键字和对应值put(int key, Object value)
查找关键字的前任值predecessor(int key)
查找关键字的后任值successor(int key)
根据关键字删除remove(int key)

2.1 定义二叉搜索树节点类BSTNode

BSTNode即二叉搜索树节点类（内部类），含有索引、存储值、左孩子、右孩子属性，由于是简单实现，索引定义基本数据类型（若希望任意类型作为 key，则后续可以将其设计为 Comparable 接口）

/*** Binary Search Tree 二叉搜索树** @author LiaoYuXing-Ray* @version 1.0* @createDate 2024/1/24 19:27**/
public class BSTTree {/*** 根节点*/BSTNode root;static class BSTNode {// 索引，比较值int key;// 该节点的存储值Object value;// 左孩子BSTNode left;// 右孩子BSTNode right;public BSTNode(int key) {this.key = key;}public BSTNode(int key, Object value) {this.key = key;this.value = value;}public BSTNode(int key, Object value, BSTNode left, BSTNode right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}}

泛型key改进

使用泛型上限语法，让泛型的Key继承Comparable接口，使其能够进行大小比较。改进后代码如下（含get方法）：

/*** 二叉搜索树, 泛型 key 版本*/
public class BSTTree<K extends Comparable<K>, V> {static class BSTNode<K, V> {K key;V value;BSTNode<K, V> left;BSTNode<K, V> right;public BSTNode(K key) {this.key = key;}public BSTNode(K key, V value) {this.key = key;this.value = value;}public BSTNode(K key, V value, BSTNode<K, V> left, BSTNode<K, V> right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}BSTNode<K, V> root;public V get(K key) {if (key == null) {return null;}BSTNode<K, V> node = root;while (node != null) {int result = key.compareTo(node.key);if (result < 0) {node = node.left;} else if (result > 0) {node = node.right;} else {return node.value;}}return null;}
}

瑞：此处泛型没有定义为T而定义K，是因为K、V迎合map集合中的key，value，容易理解

2.2 实现查找方法get(int key)

get(int key)方法通过关键字查找对应的值

递归实现

get(int key)方法是通过key索引关键字查找对应的值，可以使用递归查找

    /*** <h3>查找关键字对应的值</h3>** @param key 关键字* @return 关键字对应的值*/public Object get(int key) {return doGet(root, key);}/*** 私有 - 封装BSTNode参数，外部只需要调用get(int key)方法即可，不用关心具体细节** @param node 根节点* @param key 索引关键字 * @return java.lang.Object 关键字对应的值* @author LiaoYuXing-Ray 2024/1/24 19:53**/private Object doGet(BSTNode node, int key) {if (node == null) {return null; // 没找到}if (key < node.key) {return doGet(node.left, key); // 向左找} else if (node.key < key) {return doGet(node.right, key); // 向右找} else {return node.value; // 找到了}}

瑞：该递归实现是尾递归

尾递归是一种特殊形式的递归，它的特点是在函数的最后一步调用自身，并且不需要保留外层函数的调用记录。
注意区别伪递归，伪递归通常指的是使用迭代实现的递归算法，它们在逻辑上模拟了递归的过程，但实际上并不通过函数调用自身来实现。

尾递归的特点：

在函数的最后一步调用自身，不保留外层函数的调用记录。
可以仅使用常量级的栈空间，与迭代过程类似。
有着与循环同样优秀的计算性能。

伪递归的特点：
使用迭代来模拟递归的逻辑。
不涉及实际的函数自我调用。
通常用于那些不支持尾递归优化的编程语言中，以减少内存消耗。

方法测试代码如下：

/*** Binary Search Tree 二叉搜索树** @author LiaoYuXing-Ray* @version 1.0* @createDate 2024/1/24 19:27**/
public class BSTTree {/*** 根节点*/BSTNode root;static class BSTNode {// 索引，比较值int key;// 该节点的存储值Object value;// 左孩子BSTNode left;// 右孩子BSTNode right;public BSTNode(int key) {this.key = key;}public BSTNode(int key, Object value) {this.key = key;this.value = value;}public BSTNode(int key, Object value, BSTNode left, BSTNode right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}/*** <h3>查找关键字对应的值</h3>* 递归实现** @param key 关键字* @return 关键字对应的值*/public Object get(int key) {return doGet(root, key);}/*** 私有 - 封装BSTNode参数，外部只需要调用get(int key)方法即可，不用关心具体细节** @param node 根节点* @param key  索引关键字* @return java.lang.Object 关键字对应的值* @author LiaoYuXing-Ray 2024/1/24 19:53**/private Object doGet(BSTNode node, int key) {if (node == null) {return null; // 没找到}if (key < node.key) {return doGet(node.left, key); // 向左找} else if (node.key < key) {return doGet(node.right, key); // 向右找} else {return node.value; // 找到了}}public static void main(String[] args) {/*4/   \2     6/ \   / \1   3 5   7*/BSTNode n1 = new BSTNode(1, "Ray1");BSTNode n3 = new BSTNode(3, "Ray3");BSTNode n2 = new BSTNode(2, "Ray2", n1, n3);BSTNode n5 = new BSTNode(5, "Ray5");BSTNode n7 = new BSTNode(7, "Ray7");BSTNode n6 = new BSTNode(6, "Ray6", n5, n7);BSTNode root = new BSTNode(4, "Ray4", n2, n6);BSTTree tree = new BSTTree();tree.root = root;for (int i = 0; i <= 8; i++) {System.out.println(tree.get(i));}}}

运行结果如下，找不到索引为0和8的元素存储值，而1-7都能找到，符合预期：

    nullRay1Ray2Ray3Ray4Ray5Ray6Ray7null

非递归实现 ★

由于之前使用的是尾递归实现，而尾递归转换成迭代法是非常容易的，性能上也能有所提升，所以一般情况下，如果使用尾递归都会转化为迭代法。

    /*** <h3>查找关键字对应的值</h3>* 非递归实现** @param key 关键字* @return 关键字对应的值*/public Object get(int key) {BSTNode node = root;while (node != null) {if (key < node.key) {// 向左找node = node.left;} else if (node.key < key) {// 向右找node = node.right;} else {// 找到return node.value;}}// 没找到return null;}

瑞：测试用例可以使用同一个，同样能通过，且性能更佳。

非递归实现泛型key版本

如果希望让除 int 外更多的类型能够作为 key，一种方式是 key 必须实现 Comparable 接口。

由于compareTo方法返回-1，表示key < node.key，0表示key == node.key，1表示key > node.key，所以改进后代码如下：

    public V get(K key) {BSTNode<K, V> node = root;while (node != null) {/*-1 key < p.key0 key == p.key1 key > p.key*/int result = key.compareTo(node.key);if (result < 0) {node = node.left;} else if (result > 0) {node = node.right;} else {return node.value;}}return null;}

还有一种做法不要求 key 实现 Comparable 接口，而是在构造 Tree 时把比较规则作为 Comparator 传入，将来比较 key 大小时都调用此 Comparator 进行比较，这种做法可以参考 Java 中的 java.util.TreeMap

方法测试代码如下：

/*** 二叉搜索树, 泛型 key 版本*/
public class BSTTree<K extends Comparable<K>, V> {static class BSTNode<K, V> {K key;V value;BSTNode<K, V> left;BSTNode<K, V> right;public BSTNode(K key) {this.key = key;}public BSTNode(K key, V value) {this.key = key;this.value = value;}public BSTNode(K key, V value, BSTNode<K, V> left, BSTNode<K, V> right) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;}}BSTNode<K, V> root;public V get(K key) {if (key == null) {return null;}BSTNode<K, V> node = root;while (node != null) {/*-1 key < node.key0 key == node.key1 key > node.key*/int result = key.compareTo(node.key);if (result < 0) {node = node.left;} else if (result > 0) {node = node.right;} else {return node.value;}}return null;}public static void main(String[] args) {BSTNode<String,String> n1 = new BSTNode<>("a", "RayA");BSTNode<String,String> n3 = new BSTNode<>("c", "RayC");BSTNode<String,String> n2 = new BSTNode<>("b", "RayB", n1, n3);BSTNode<String,String> n5 = new BSTNode<>("e","RayE");BSTNode<String,String> n7 = new BSTNode<>("g","RayG");BSTNode<String,String> n6 = new BSTNode<>("f", "RayF", n5, n7);BSTNode<String,String> root = new BSTNode<>("d", "RayD", n2, n6);BSTTree<String,String> tree = new BSTTree<>();tree.root = root;System.out.println(tree.get("a"));System.out.println(tree.get("b"));System.out.println(tree.get("c"));System.out.println(tree.get("d"));System.out.println(tree.get("e"));System.out.println(tree.get("f"));System.out.println(tree.get("g"));System.out.println(tree.get("h"));}
}

运行结果如下，符合预期：

	RayARayBRayCRayDRayERayFRayGnull

由于使用泛型代码阅读对新手会比较困难，本文主要是学习思想，所以后续方法采用int类型作为key

2.3 实现查找最小方法min()

min()方法查找最小关键字key的对应存储值

递归实现

根据二叉搜索树的特征，树中最左的节点即为最小索引（关键字），即向左走到头即可，所以只要左孩子为null，即找到最小关键字，使用递归实现的代码就非常简单，如下：

    /*** <h3>查找最小关键字对应值</h3>* 递归实现** @return 关键字对应的值*/public Object min() {return doMin(root);}public Object doMin(BSTNode node) {if (node == null) {return null;}// 左边已走到头if (node.left == null) {return node.value;}return doMin(node.left);}

非递归实现 ★

由于之前使用的是尾递归实现，所以下面转化为迭代法，代码如下：

    /*** <h3>查找最小关键字对应值</h3>* 非递归实现** @return 关键字对应的值*/public Object min() {return min(root);}private Object min(BSTNode node) {if (node == null) {return null;}BSTNode p = node;// 左边未走到头while (p.left != null) {p = p.left;}return p.value;}

方法测试代码如下：

    public static void main(String[] args) {/*4/   \2     6/ \   / \1   3 5   7*/BSTNode n1 = new BSTNode(1, "Ray1");BSTNode n3 = new BSTNode(3, "Ray3");BSTNode n2 = new BSTNode(2, "Ray2", n1, n3);BSTNode n5 = new BSTNode(5, "Ray5");BSTNode n7 = new BSTNode(7, "Ray7");BSTNode n6 = new BSTNode(6, "Ray6", n5, n7);BSTNode root = new BSTNode(4, "Ray4", n2, n6);BSTTree tree = new BSTTree();tree.root = root;System.out.println(tree.min()); }

运行结果如下，查找到最小（最左节点）索引key为1的存储值Ray1，符合预期：

	Ray1

2.4 实现查找最大方法max()

max()方法查找最大关键字key的对应存储值

递归实现

与min()方法实现的思想类似，树中最右的节点即为最大索引（关键字），即向右走到头即可，所以只要右孩子为null，即找到最大关键字，使用递归实现的代码如下：

    /*** <h3>查找最大关键字对应值</h3>* 递归实现** @return 关键字对应的值*/public Object max() {return doMax(root);}public Object doMax(BSTNode node) {if (node == null) {return null;}// 右边已走到头if (node.right == null) {return node.value;}return doMax(node.right);}

非递归实现 ★

由于之前使用的是尾递归实现，所以下面转化为迭代法，代码如下：

    /*** <h3>查找最大关键字对应值</h3>** @return 关键字对应的值*/public Object max() {return max(root);}private Object max(BSTNode node) {if (node == null) {return null;}BSTNode p = node;while (p.right != null) {p = p.right;}return p.value;}

方法测试代码如下：

    public static void main(String[] args) {BSTNode n1 = new BSTNode(1, "Ray1");BSTNode n3 = new BSTNode(3, "Ray3");BSTNode n2 = new BSTNode(2, "Ray2", n1, n3);BSTNode n5 = new BSTNode(5, "Ray5");BSTNode n7 = new BSTNode(7, "Ray7");BSTNode n6 = new BSTNode(6, "Ray6", n5, n7);BSTNode root = new BSTNode(4, "Ray4", n2, n6);BSTTree tree = new BSTTree();tree.root = root;System.out.println(tree.max());}

运行结果如下，查找到最大（最右节点）索引key为7的存储值Ray7，符合预期：

	Ray7

2.5 实现新增方法put(int key, Object value)

新增put(int key, Object value)方法存储关键字和对应值，和Java中的Map的put方法类似，分为两种情况：

1️⃣ key在整个树中已经存在，新增操作变为更新操作，将旧的值替换为新的值
2️⃣ key在整个树中未存在，执行新增操作，将key value添加到树中

递归实现

递归实现思路如下：

若找到 key，走 else 更新找到节点的值
若没找到 key，走第一个 if，创建并返回新节点
- 返回的新节点，作为上次递归时 node 的左孩子或右孩子
- 缺点是，会有很多不必要的赋值操作

    /*** <h3>存储关键字和对应值</h3>* 递归实现** @param key   关键字* @param value 值*/public void put(int key, Object value) {root = doPut(root, key, value);}private BSTNode doPut(BSTNode node, int key, Object value) {if (node == null) {return new BSTNode(key, value);}if (key < node.key) {node.left = doPut(node.left, key, value);} else if (node.key < key) {node.right = doPut(node.right, key, value);} else {node.value = value;}return node;}

非递归实现 ★

查找逻辑和get方法的逻辑基本一样，区别是如果查找到值则更新node.value = value;，没查找到则新增。在新增时为了防止频繁的更新操作，添加parent父节点，判断新增节点是父节点的左孩子还是右孩子，然后再新增，代码如下：

    /*** <h3>存储关键字和对应值</h3>* 非递归实现** @param key   关键字* @param value 值*/public void put(int key, Object value) {BSTNode node = root;BSTNode parent = null; // 父节点while (node != null) {parent = node;if (key < node.key) {node = node.left;} else if (node.key < key) {node = node.right;} else {// 1. key 存在则更新node.value = value;return;}}// 2. key 不存在则新增，判断新节点是父节点的左孩子还是右孩子// parent 为空代表树为空的情况，那新增节点就是根节点if (parent == null) {root = new BSTNode(key, value);}// 新增节点为左孩子else if (key < parent.key) {parent.left = new BSTNode(key, value);}// 新增节点为右孩子else {parent.right = new BSTNode(key, value);}}

测试代码：

    public static void main(String[] args) {/*4/   \2     6/ \   / \1   3 5   7*/BSTNode n1 = new BSTNode(1, "Ray1");BSTNode n3 = new BSTNode(3, "Ray3");BSTNode n2 = new BSTNode(2, "Ray2", n1, n3);BSTNode n5 = new BSTNode(5, "Ray5");BSTNode n7 = new BSTNode(7, "Ray7");BSTNode n6 = new BSTNode(6, "Ray6", n5, n7);BSTNode root = new BSTNode(4, "Ray4", n2, n6);BSTTree createTree = new BSTTree();createTree.root = root;BSTTree tree = new BSTTree();tree.put(4, new Object());tree.put(2, new Object());tree.put(6, new Object());tree.put(1, new Object());tree.put(3, new Object());tree.put(5, new Object());tree.put(7, new Object());System.out.println(createTree == tree);tree.put(1, "Ray486");System.out.println(tree.get(1).equals("Ray486"));}

两树的key一致但输出false，说明不是同样的树，索引1的存储值被成功替换，均符合预期，测试结果如下：

	falsetrue

2.6 实现查找关键字的前任值predecessor(int key)

回顾跳转前驱后继

一个节点的前驱（前任）节点是指：比它小的节点中，最大的那个

一个节点的后继（后任）节点是指：比它大的节点中，最小的那个

在这里插入图片描述

例如上图中

1 没有前驱，后继是 2
2 前驱是 1，后继是 3
3 前驱是 2，后继是 4

想要找到二叉搜索树的某节点的前驱后继节点，简单（但不高效）的办法是中序遍历，即可获得排序结果，此时很容易找到前驱后继。因为使用中序遍历后二叉搜索树的值就是升序的，有了升序排序，前驱后继节点就很好找。但是，由于中序遍历的性能不高，所以不推荐使用。

要效率更高，需要研究一下规律，找前驱分成以下 2 种情况：

1️⃣节点有左子树，此时前驱节点就是左子树的最大值，图中属于这种情况的有：

2 的前驱是1
4 的前驱是 3
6 的前驱是 5
7 的前驱是 6

2️⃣节点没有左子树，若离它最近的祖先自从左而来，此祖先即为前驱，如：

3 的祖先 2 自左而来，前驱 2
5 的祖先 4 自左而来，前驱 4
8 的祖先 7 自左而来，前驱 7
1 没有这样的祖先，前驱 null

瑞：祖先不止是父节点，也可以是父节点的父节点，父节点的的父节点的父节点…

对于情况2，只需要添加一个指针，记录最近一个自左而来的祖先即可，实现代码如下：

    /*** <h3>查找关键字的前任值</h3>** @param key 关键字* @return 前任值*/public Object predecessor(int key) {BSTNode p = root;// 自左而来的祖先BSTNode ancestorFromLeft = null;while (p != null) {if (key < p.key) {p = p.left;} else if (p.key < key) {// 记录自左而来的祖先ancestorFromLeft = p;p = p.right;} else {break;}}// 没找到节点if (p == null) {return null;}// 找到节点 情况1：节点有左子树，此时前任就是左子树的最大值if (p.left != null) {return max(p.left);}// 找到节点 情况2：节点没有左子树，若离它最近的、自左而来的祖先就是前任return ancestorFromLeft != null ?ancestorFromLeft.value : null;}

2.7 查找关键字的后任值successor(int key)

回顾跳转前驱后继

一个节点的前驱（前任）节点是指：比它小的节点中，最大的那个

一个节点的后继（后任）节点是指：比它大的节点中，最小的那个

在这里插入图片描述

与前驱类似找后继也分成 2 种情况：

1️⃣节点有右子树，此时后继节点即为右子树的最小值，如：

2 的后继 3
3 的后继 4
5 的后继 6
7 的后继 8

2️⃣节点没有右子树，若离它最近的祖先自右而来，此祖先即为后继，如：

1 的祖先 2 自右而来，后继 2
4 的祖先 5 自右而来，后继 5
6 的祖先 7 自右而来，后继 7
8 没有这样的祖先，后继 null

代码实现和前任类似，如下：

    /*** <h3>查找关键字的后任值</h3>** @param key 关键字* @return 后任值*/public Object successor(int key) {BSTNode p = root;// 自右而来的祖先BSTNode ancestorFromRight = null;while (p != null) {if (key < p.key) {// 记录自右而来的祖先ancestorFromRight = p;p = p.left;} else if (p.key < key) {p = p.right;} else {break;}}// 没找到节点if (p == null) {return null;}// 找到节点 情况1：节点有右子树，此时后任就是右子树的最小值if (p.right != null) {return min(p.right);}// 找到节点 情况2：节点没有右子树，若离它最近的、自右而来的祖先就是后任return ancestorFromRight != null ?ancestorFromRight.value : null;}

2.8 根据关键字删除remove(int key)

删除remove(int key)方法需要考虑的情况较多。要删除某节点（称为 D），必须先找到被删除节点的父节点，这里称为 Parent，具体情况如下：

删除节点没有左孩子，将右孩子托孤给 Parent
删除节点没有右孩子，将左孩子托孤给 Parent
删除节点左右孩子都没有，已经被涵盖在情况1、情况2 当中，把 null 托孤给 Parent
删除节点左右孩子都有，可以将它的后继节点（称为 S）托孤给 Parent，设 S 的父亲为 SP，又分两种情况
1. SP 就是被删除节点，此时 D 与 S 紧邻，只需将 S 托孤给 Parent
2. SP 不是被删除节点，此时 D 与 S 不相邻，此时需要将 S 的后代托孤给 SP，再将 S 托孤给 Parent

删除本身很简单，只要通过索引查找到该节点删除即可，但是，由于需要料理后事，所以想要做好删除操作，需要处理好“托孤”操作。

非递归实现 ★

情况3走情况1或者情况2的逻辑都是可以的，所以不用管，主要是情况4的第二种子情况（删除和后继不相邻），需要处理好该情况下要删除节点的后任的托孤（利用后继节点不会有左孩子，如果有左孩子，那就不会是最小值，所以后继不可能有左孩子），再将后继节点托孤给被删除节点的父节点，代码如下：

/*** <h3>根据关键字删除</h3>* 非递归实现** @param key 关键字* @return 被删除关键字对应值*/
public Object remove(int key) {BSTNode p = root;// 记录待删除节点的父亲BSTNode parent = null;while (p != null) {if (key < p.key) {parent = p;p = p.left;} else if (p.key < key) {parent = p;p = p.right;} else {break;}}if (p == null) {return null;}// 删除操作if (p.left == null) {shift(parent, p, p.right); // 情况1} else if (p.right == null) {shift(parent, p, p.left); // 情况2} else {// 情况4// 4.1 被删除节点找后继BSTNode s = p.right;BSTNode sParent = p; // 后继父亲while (s.left != null) {sParent = s;s = s.left;}// 4.2 删除和后继不相邻, 处理后继的后事if (sParent != p) {                shift(sParent, s, s.right); // 不可能有左孩子（否则就不是后继节点）s.right = p.right;}// 4.3 后继取代被删除节点shift(parent, p, s);s.left = p.left;}return p.value;
}/*** 托孤方法** @param parent  被删除节点的父亲* @param deleted 被删除节点* @param child   被顶上去的节点*/
// 只考虑让 n1父亲的左或右孩子指向 n2, n1自己的左或右孩子并未在方法内改变
private void shift(BSTNode parent, BSTNode deleted, BSTNode child) {if (parent == null) {// 根节点（特殊情况）root = child;} else if (deleted == parent.left) {parent.left = child;} else {parent.right = child;}
}

测试代码：

    public static void main(String[] args) {/*4/   \2     7/ \   /1   3 6/5*/BSTNode n1 = new BSTNode(1, 1);BSTNode n3 = new BSTNode(3, 3);BSTNode n2 = new BSTNode(2, 2, n1, n3);BSTNode n5 = new BSTNode(5, 5);BSTNode n6 = new BSTNode(6, 6, n5, null);BSTNode n7 = new BSTNode(7, 7, n6, null);BSTNode root1 = new BSTNode(4, 4, n2, n7);BSTTree tree1 = new BSTTree();tree1.root = root1;Object delete = tree1.remove(7);System.out.println(delete + "\t" + 7); // 7     7// 删除后/*4/   \2     6/ \   /1   3 5*/BSTNode x1 = new BSTNode(1, 1);BSTNode x3 = new BSTNode(3, 3);BSTNode x2 = new BSTNode(2, 2, x1, x3);BSTNode x5 = new BSTNode(5, 5);BSTNode x6 = new BSTNode(6, 6, x5, null);BSTNode root2 = new BSTNode(4, 4, x2, x6);BSTTree tree2 = new BSTTree();tree2.root = root2;System.out.println(isSameTree(tree1.root,tree2.root)); // true}// 判断是否为同一树（key对应的value都相等）static boolean isSameTree(BSTNode tree1, BSTNode tree2) {if (tree1 == null && tree2 == null) {return true;}if (tree1 == null || tree2 == null) {return false;}if (tree1.key != tree2.key) {return false;}return isSameTree(tree1.left, tree2.left) && isSameTree(tree1.right, tree2.right);}

测试结果如下，删除的元素符合预期，且删除后的树与预期结果的结构一致

	7	7true

递归实现

由于递归实现效率低，且较难理解，主要是为了结合非递归实现提供思路，可以结合注释思考，不过多讲解，代码如下：

    /*** <h3>根据关键字删除</h3>* 递归实现** @param key 关键字* @return 被删除关键字对应值*/public Object remove(int key) {ArrayList<Object> result = new ArrayList<>(); // 保存被删除节点的值root = doRemove(root, key, result);return result.isEmpty() ? null : result.get(0);}/*** 私有 递归删除具体实现细节** @param node   起点* @param key    删除索引* @param result 保存被删除节点的值* @return node 删剩下的孩子(找到) 或 null(没找到)* @author LiaoYuXing-Ray 2024/1/25 19:59**/private BSTNode doRemove(BSTNode node, int key, ArrayList<Object> result) {if (node == null) {return null;}if (key < node.key) {node.left = doRemove(node.left, key, result);return node;}if (node.key < key) {node.right = doRemove(node.right, key, result);return node;}result.add(node.value);if (node.left == null) { // 情况1 - 只有右孩子return node.right;}if (node.right == null) { // 情况2 - 只有左孩子return node.left;}BSTNode s = node.right; // 情况3 - 有两个孩子while (s.left != null) {s = s.left;}s.right = doRemove(node.right, s.key, new ArrayList<>());s.left = node.left;return s;}

说明

ArrayList<Object> result 用来保存被删除节点的值
第二、第三个 if 对应没找到的情况，继续递归查找和删除，注意后续的 doRemove返回值代表删剩下的，因此需要更新
最后一个 return 对应删除节点只有一个孩子的情况，返回那个不为空的孩子，待删节点自己因没有返回而被删除
第四个 if 对应删除节点有两个孩子的情况，此时需要找到后继节点，并在待删除节点的右子树中删掉后继节点，最后用后继节点替代掉待删除节点返回，别忘了改变后继节点的左右指针

3 二叉搜索树——范围查询

             4/   \2     6/ \   / \1   3 5   7

3.1 找所有小于索引的值less(int key)

less(int key)方法：找 < key 的所有 value

使用中序遍历

    // 找 < key 的所有 valuepublic List<Object> less(int key) {ArrayList<Object> result = new ArrayList<>();BSTNode p = root;LinkedList<BSTNode> stack = new LinkedList<>();while (p != null || !stack.isEmpty()) {if (p != null) {stack.push(p);p = p.left;} else {BSTNode pop = stack.pop();// 处理值if (pop.key < key) {result.add(pop.value);} else {break;}p = pop.right;}}return result;}

3.2 找所有大于索引的值greater(int key)

greater(int key)方法：找 > key 的所有 value

使用常规的中序遍历（从左向右的中序遍历）

public List<Object> greater(int key) {ArrayList<Object> result = new ArrayList<>();BSTNode p = root;LinkedList<BSTNode> stack = new LinkedList<>();while (p != null || !stack.isEmpty()) {if (p != null) {stack.push(p);p = p.left;} else {BSTNode pop = stack.pop();if (pop.key > key) {result.add(pop.value);}p = pop.right;}}return result;
}

中序遍历效率不高，可以用 RNL 遍历（中序遍历的逆操作）

注：

Pre-order, NLR
In-order, LNR
Post-order, LRN
Reverse pre-order, NRL（反向前序遍历，值右左）
Reverse in-order, RNL（反向中序遍历，右值左）
Reverse post-order, RLN（反向后续序遍历，右左值）

RNL 遍历代码如下：

// 找 > key 的所有 value
public List<Object> greater(int key) {ArrayList<Object> result = new ArrayList<>();BSTNode p = root;LinkedList<BSTNode> stack = new LinkedList<>();while (p != null || !stack.isEmpty()) {if (p != null) {stack.push(p);p = p.right;} else {BSTNode pop = stack.pop();if (pop.key > key) {result.add(pop.value);} else {break;}p = pop.left;}}return result;
}

3.3 找范围值between(int key1, int key2)

between(int key1, int key2)方法：找 >= key1 且 <= key2 的所有值

    // 找 >= key1 且 <= key2 的所有值public List<Object> between(int key1, int key2) {ArrayList<Object> result = new ArrayList<>();BSTNode p = root;LinkedList<BSTNode> stack = new LinkedList<>();while (p != null || !stack.isEmpty()) {if (p != null) {stack.push(p);p = p.left;} else {BSTNode pop = stack.pop();// 处理值if (pop.key >= key1 && pop.key <= key2) {result.add(pop.value);} else if (pop.key > key2) {break;}p = pop.right;}}return result;}

测试：

    public static void main(String[] args) {/*4/   \2     6/ \   / \1   3 5   7*/BSTNode n1 = new BSTNode(1, 1);BSTNode n3 = new BSTNode(3, 3);BSTNode n2 = new BSTNode(2, 2, n1, n3);BSTNode n5 = new BSTNode(5, 5);BSTNode n7 = new BSTNode(7, 7);BSTNode n6 = new BSTNode(6, 6, n5, n7);BSTNode root = new BSTNode(4, 4, n2, n6);BSTTree tree = new BSTTree();tree.root = root;System.out.println(tree.less(6));System.out.println(tree.greater(6));System.out.println(tree.between(3,5));}