力扣：474. 一和零（动态规划）（01背包）
题目：
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
示例 1：
输入：
strs = [“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”], m = 5, n = 3
输出：
4
解释：
最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {“10”,“0001”,“1”,“0”} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {“0001”,“1”} 和 {“10”,“1”,“0”} 。{“111001”} 不满足题意，因为它含 4个 1 ，大于 n 的值 3 。
示例 2：
输入：
strs = [“10”, “0”, “1”], m = 1, n = 1
输出：
2
解释：
最大的子集是 {“0”, “1”} ，所以答案是 2 。
提示：
- 1 <= strs.length <= 600
- 1 <= strs[i].length <= 100
- strs[i] 仅由 ‘0’ 和’1’ 组成
- 1 <= m, n <= 100
思路：
本题是01背包问题
只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
动态规划五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。
- 确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。
然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。
所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。
这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zero_num][j - one_num] + 1)
- dp数组如何初始化
01背包的dp数组初始化为0就可以。
因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
01背包一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！
那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。
代码如下：
# 遍历m到zero_num，更新dp数组for i in range(m, zero_num - 1, -1):# 遍历n到one_num，更新dp数组for j in range(n, one_num - 1, -1):# 更新dp[i][j]的值dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zero_num][j - one_num] + 1)
m 和 n都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都可以。
- 举例推导dp数组
以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示：
代码及详细注释：
class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:# 创建一个二维数组dp，用于记录可以由前i个字符串组成的最大子集的个数dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]# 遍历每个字符串for s in strs:zero_num = s.count('0') # 统计0的个数one_num = s.count('1') # 统计1的个数# 遍历m到zero_num，更新dp数组for i in range(m, zero_num - 1, -1):# 遍历n到one_num，更新dp数组for j in range(n, one_num - 1, -1):# 更新dp[i][j]的值dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zero_num][j - one_num] + 1)# 返回dp[m][n]，表示可以由给定数量的0和1组成的最大子集的个数return dp[m][n]- 时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
- 空间复杂度: O(mn)