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EM@三角函数诱导公式

news 2025/8/8 19:07:33

文章目录

诱导公式
- 单位圆坐标和三角函数
- - 记忆口诀
  - - 符号看象限
    - 奇变偶不变
  - 例
- 常用诱导公式🎈
- - - 常用部分(5对)
    - 倒数关系
    - 六种三角函数间的转换关系
- 小结
- - - Reflections
    - Shifts and periodicity

诱导公式

诱导公式 - 维基百科，自由的百科全书 (wikipedia.org)

单位圆坐标和三角函数

例如, $sin(θ+π)=−sin(θ);这里ϕ(θ)=π+θsin(\theta+\pi)=- sin(\theta);这里\phi(\theta)=\pi+\theta$
$途中各个点的横纵坐标分值分别对应p(cox(ϕ(θ)),sin(ϕ(θ)))途中各个点的横纵坐标分值分别对应p(cox(\phi(\theta)),sin(\phi(\theta)))$
途中设定了两个超级点(主超级点为 $A(cosθ,sinθ),副超级点B(sinθ,cosθ)A(cos\theta,sin\theta),副超级点B(sin\theta,cos\theta)$
- $所有的其他角度都可以由超级点关于x轴或者y轴或者圆心原点(或者θ=π2)对称所有的其他角度都可以由超级点关于x轴或者y轴或者圆心原点(或者\theta=\frac{\pi}{2})对称$
- 比如 $ϕ(θ)=θ−π2;则sin(ϕ(θ))=−cosθ;cos(ϕ(θ))=sinθ\phi(\theta)=\theta-\frac{\pi}{2};则sin(\phi(\theta))=-cos\theta;cos(\phi(\theta))=sin\theta$

记忆口诀

对于 $kπ2±α(k∈Z)k\frac{\pi}{2}\pm\alpha(k\in \mathbb{Z})$ 的三角函数值，

符号看象限

口诀总是把 $α\alpha$ 看作锐角， $2π−α∈(270°，360°),弧度角2π−α终边落在第4象限，sin(2π−α)<02π-α∈(270°，360°),弧度角2\pi-\alpha终边落在第4象限，sin(2π-α)<0$ ，符号为“-”

奇变偶不变

当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即
- sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号
对于 $tan⁡,sec⁡,csc⁡,cot⁡\tan,\sec,\csc,\cot$ 可以转化为 $cos⁡,sin⁡\cos,\sin$ 处理

例

$sin(2π−α)=sin(4⋅π2−α)sin(2π-α)=sin(4·\frac{\pi}{2}-α)$ ，k=4为偶数，所以函数名(绝对值部分)是 $sin⁡α\sin\alpha$ 。
所以 $s in (2 π - α) = - s in α$

常用诱导公式🎈

常用部分(5对)

$sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin{\alpha}$
$cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos{\alpha}$
$sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos{\alpha}$
$cos⁡(π2−α)=sin⁡α\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin{\alpha}$
$sin⁡(π2+α)=cos⁡α\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos{\alpha}$
$cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin{\alpha}$
$sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin{(\pi-\alpha)}=\sin{\alpha}$
$cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{\alpha}$
$sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin{\alpha}$
$cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos{(\pi+\alpha)}=-\cos{\alpha}$
总之,第一象限全是正的,第三象限全是负的

倒数关系

$正弦(sine)×余割(co−secant)=1正割(secant)×余弦(co−sine)=1正切(tangent)×余切(co−tangent)=1正弦(sine)\times余割(co-secant)=1 \\正割(secant)\times余弦(co-sine)=1 \\ 正切(tangent)\times余切(co-tangent)=1$