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蓝桥杯备赛 day 1 —— 递归、递归、枚举算法（C/C++，零基础，配图）

news 2025/8/27 15:58:19

目录

🌈前言

📁 枚举的概念

📁递归的概念

例题：

1. 递归实现指数型枚举

2. 递归实现排列型枚举

3. 递归实现组合型枚举

📁 递推的概念

例题：

斐波那契数列

📁习题

1. 带分数

2. 反硬币

3. 费解的开关

📁 总结

🌈前言：

这篇文章主要是准备蓝桥杯竞赛同学所写，为你更好准备蓝桥杯比赛涉及的算法知识点。不知道你是否苦恼于不知算法从何学起，苦恼于网上资料稀少，或者复杂难懂，这篇文章就是帮助这部分同学的。

这篇文章会将C平滑过度到C++，如果你只学过C语言的基本语法，也没必要担心不合适，涉及到的C++知识点会进行详细讲解。

📁 枚举的概念：

很多问题都可以" 暴力解决 " —— 不用太多脑筋，把所有可能性全部列举出来，然后一一市实验。尽管这样的方法显得很“笨”，但常常是行之有效的。

——《算法竞赛入门经典(第2版) 》

简单的理解就是，列举出所有可能性，逐个实验，合适就留下，不合适就丢弃，看下一个，直到列举完全部数据。

这里为什么讲解枚举呢，因为在递归和递推的很多题中，常常结合枚举法，所以我们先讲解其概念，方便接下里更好的讲解递归和递推。

在算法竞赛中，对于大多数人来说，其实并不需要关注算法的优化和鲁棒性（健壮性），只需要AC（通过）即可，所以，在实际比赛中，往往通过暴力枚举的方法就可以获得大部分的分数，所以打好递归和枚举的基础，非常重要。

📁递归的概念：

递归的思想就是，将一个大问题化解成一个个子问题，直到化解成我们简单理解计算的数。放在C/C++语言中就是，1. 函数自己调用自己；2. 必须有函数调用结束条件；3. 每次调用越来越接近这个条件。

这个概念相信大家在C语言学习阶段都有学习过，所以我们简单提一下，我们通过例题来更好的理解。当然，如果你感觉一开始很难理解，这很正常，多看几遍思路，照着敲一遍，自己在写一遍（注意这里就不能照着超了，即便错了，也要自己调试，超过15分钟后依旧没思路再来看）。如果感觉头痛，休息一下，再回来敲代码，坚持不放弃就是胜利。

📁 例题：

我们先给出原题，如果你有思路，可以自己先写一遍。其次，在展示思路，最后展示代码。

1. 递归实现指数型枚举

92. 递归实现指数型枚举 - AcWing题库

解题思路：

我们先创建一个数组，有N+1 个元素，我们使用下标1 ~ N 表示每个数，如果这个数被选择，放如数字1；如果没有被选择，就放入2。最后打印1~N被选择的数。

//引入C语言标准头文件stdio.h ,包含printf 和 scanf函数
//引入C语言标准头文件string.h ,包含字符串 和 内存 函数
#include <cstdio>
#include <cstring>//包含函数cin , cout 类似于 scanf 和 printf 
#include <iostream>//C++STL算法，部分算法的使用
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 15;    //数组开辟的多一点，方便操作。int n;int st[N];	//每个数的状态，0代表未知 1代表选取 2代表未选取//u是下标
void dfs(int u)
{if (u > n){for (int i = 1;i <= n;i++){if(st[i] == 1)printf("%d ", i);}puts("");return;}st[u] = 1;	//未选取dfs(u + 1);st[u] = 0;	//还原现场，删掉也可以，下面会重置st[u] = 2;	//选取dfs(u + 1);st[u] = 0;	//还原现场}int main()
{cin >> n;dfs(1);return 0;
}

2. 递归实现排列型枚举

94. 递归实现排列型枚举 - AcWing题库

解题思路：

这里我们可以沿用上一个题解的思路，不过有了一点延伸。之前我们是对每个数进行枚举，选择或是不选择。

现在，我们对每个位置进行枚举，枚举出一个没有被选择的数，直到最后一个位置枚举结束，打印。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N=10;    //为了方便理解，下标从1开始int n;
int stu[N];      //每个位置
bool used[N];    //每个数的状态，选择就是 true，没选择就是 false//u就是下标，代表哪一个位置
void dfs(int u)
{if (u > n){for (int i = 1;i <= n;i++){printf("%d ", stu[i]);}puts("");}for (int i = 1;i <= n;i++){if (!used[i]){stu[u] = i;used[i] = true;//递归到下一位置dfs(u + 1);//恢复现场used[i] = false;}}
}int main()
{cin >> n;dfs(1);return 0;
}

3. 递归实现组合型枚举

解题思路：

什么组合呢，就是不管顺序，例如，{1,2,3} 和 {1，3, 2}若果是排列的话，就是不同的排列；如果是组合的话，就是同一个组合。

字典序是什么呢，例如 ab 和 ac 的ab字典序较小，比较的就是ASCII码值；abc 和 ab的字典序，ab在前面。

介绍了上面两个内容，已经有了做题的基础。其实这题也是非常好做的，就是排列型枚举的衍生，可以阅读样例，其实有一种规律就是，每一个位置的数据都比他前一个数据大，也就是我们从小到大依次枚举，得到的就是一个字典组较小的在前的组合。

1. 在每个位置枚举未出现的数字；

2. 每个位置的数据都比前一个位置的数据大

这里我们可以进行一个优化，例如，3个位置从1~3中进行组合，如第一个数是2 或者 3 就没必要枚举了，因为没有2 和 3 后面的数不能够填满剩余2 个位置。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 25;int n;
int m;
int ways[N];    //每个位置的数据，存放到数组ways中//u就是下标，start就是比前一个位置的数据大的那个数据
void dfs(int u,int start)
{//这里进行了优化，例如样例中，4和5放在第一个位置就没必要往下枚举了if (n - start < m - u){return;}//枚举完了m个位置，进行打印if(u > m){for(int i =1;i<=m;i++){printf("%d ",ways[i]);}puts("");return ;}//在每个位置上进行枚举操作，枚举没有出现的数字，并保持有序for(int i=start;i<=n;i++){ways[u] = i;dfs(u + 1 ,i + 1);}
}int main()
{cin>>n>>m;dfs(1,1);    //下标从1开始；start = 1，即从1开始枚举return 0;
}

📁 递推的概念：

递归的理解就是，先求出小问题，再由小问题求出大问题。下面就用斐波那契数列作为讲解，第三项就是前两项求和。

📁例题：

斐波那契数列

#include <iostream>using namespace std;int n,fib[50];int main(){cin >> n;feibo[0]=0;feibo[1]=1;for(int i=2;i<n;++i) fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];for(int i=0;i<n;++i) printf("%d ",fib[i]);return 0;
}

📁习题：

1. 带分数

1209. 带分数 - AcWing题库

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 20;bool used[10];int num;
int ans;bool check(int a, int c)
{long long  b = num * (long long)c - a * c;if (!a || !b || !c){return false;}bool backup[N];memcpy(backup, used, sizeof used);while (b){int i = b % 10;b /= 10;if (!i ||backup[i]){return false;}backup[i] = true;}for (int i = 1;i < 10;i++){if (!backup[i]){return false;}}return true;
}void dfs_c(int u,int a, int c)
{if (u > 9){return;}if (check(a, c)){ans++;}for (int i = 1;i <= 9;i++){if (!used[i]){used[i] = true;dfs_c(u + 1, a, c * 10 + i);used[i] = false;}}
}void dfs_a(int u,int a)
{if (a >= num){return;}if (a){dfs_c(u, a, 0);}for (int i = 1;i <= 9;i++){if (!used[i]){used[i] = true;dfs_a(u + 1, a * 10 + i);used[i] = false;}}
}int main()
{cin >> num;dfs_a(0,0);cout << ans;return 0;
}

2. 翻硬币

1208. 翻硬币 - AcWing题库

3. 费解的开关

95. 费解的开关 - AcWing题库

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;char g[6][6], back[6][6];
int T;
int dx[5] = { -1,0,1,0,0 }, dy[5] = { 0,1,0,-1,0 };void turn(int x,int y)
{for (int i = 0;i < 5;i++){int a = x + dx[i];int b = y + dy[i];if (a < 0 || a >= 5 || b < 0 || b >= 5){continue;}g[a][b] ^= 1;}
}int main()
{cin >> T;while (T--){//对每一行进行输入for (int i = 0;i < 5;i++){cin >> g[i];}int ret = 10;//枚举第一行的操作for (int op = 0;op < 32;op++){int step = 0;memcpy(back, g, sizeof g);//对第一行进行操作for (int i = 0;i < 5;i++){if (op >> i & 1){step++;turn(0, i);}}//对第2 - 4 行进行操作for (int i = 0;i < 4;i++)for (int j = 0;j < 5;j++){if (g[i][j] == '0'){step++;turn(i + 1, j);}}//对最后一行进行检查bool dark = false;for (int i = 0;i < 5;i++){if (g[4][i] == '0'){dark = true;break;}}if (!dark)ret = min(step, ret);memcpy(g, back, sizeof g);}if (ret > 6)ret = -1;cout << ret << endl;}return 0;
}