代数学笔记9: 群的直积,可解群,自由群,群表示
群的直积
外直积
H 1 , H 2 H_1,H_2 H1,H2是两个群(固定的群), 且有 G = H 1 × H 2 G=H_1\times H_2 G=H1×H2,(构造的新群)
G = ( { ( h 1 , h 2 ) ∣ h 1 ∈ H 1 , h 2 ∈ H 2 } , ⋅ ) , G=\big(\{(h_1,h_2)|h_1\in H_1,h_2\in H_2\},\cdot\big), G=({(h1,h2)∣h1∈H1,h2∈H2},⋅),
定义运算:
( h 1 , h 2 ) ⋅ ( g 1 , g 2 ) ≜ ( h 1 g 1 , h 2 g 2 ) , ∀ h 1 , g 1 ∈ H 1 , h 2 , g 2 ∈ H 2 . (h_1,h_2)\cdot(g_1,g_2)\triangleq(h_1g_1,h_2g_2),\quad \forall h_1,g_1\in H_1,h_2,g_2\in H_2. (h1,h2)⋅(g1,g2)≜(h1g1,h2g2),∀h1,g1∈H1,h2,g2∈H2.
并且有:
H 1 × { e 2 } = { ( h 1 , e 2 ) ∣ ∀ h 1 ∈ H 1 , e 2 ∈ H 2 } ≅ H 1 ⊴ G . H_1\times\{e_2\}=\{(h_1,e_2)|\forall h_1\in H_1,e_2\in H_2\}\cong H_1\unlhd G. H1×{e2}={(h1,e2)∣∀h1∈H1,e2∈H2}≅H1⊴G.
内直积
与外直积相反, G G G是一个群, 如果 H 1 , H 2 ⊴ G H_1,H_2\unlhd G H1,H2⊴G且 H 1 ∩ H 2 = { e } H_1\cap H_2=\{e\} H1∩H2={e}, G = H 1 H 2 G=H_1H_2 G=H1H2, 则称 G ≅ H 1 × H 2 G\cong H_1\times H_2 G≅H1×H2.
证明:
∀ g ∈ G , g = h 1 h 2 \forall g\in G,g=h_1h_2 ∀g∈G,g=h1h2, 其中 h 1 ∈ H 1 , h 2 ∈ H 2 h_1\in H_1,h_2\in H_2 h1∈H1,h2∈H2;
H 1 ∩ H 2 = { e } H_1\cap H_2=\{e\} H1∩H2={e} 上面的表示方法唯一.
若不然, g = h 1 h 2 = g 1 g 2 g=h_1h_2=g_1g_2 g=h1h2=g1g2, 两边左乘 g 1 − 1 g_1^{-1} g1−1,右乘 h 2 − 1 h_2^{-1} h2−1, 得到
H 1 ∋ g 1 − 1 h 1 = g 2 h 2 − 1 ∈ H 2 , ⟺ g 1 − 1 h 1 = g 2 h 2 − 1 = e . H_1\ni g_1^{-1}h_1=g_2h_2^{-1}\in H_2,\iff g_1^{-1}h_1=g_2h_2^{-1}=e. H1∋g1−1h1=g2h2−1∈H2,⟺g1−1h1=g2h2−1=e.于是 H 1 × H 2 ⟶ G : ( h 1 , h 2 ) ⟼ h 1 h 2 H_1\times H_2\longrightarrow G:(h_1,h_2)\longmapsto h_1h_2 H1×H2⟶G:(h1,h2)⟼h1h2.
直积的意义:
G = H 1 × H 2 , G > H 1 > { i d } , ⟺ G / H 1 ≅ H 2 . G= H_1\times H_2, G>H_1>\{{\rm id}\},\iff G/H_1\cong H_2. G=H1×H2,G>H1>{id},⟺G/H1≅H2.
例子:
S 3 × S 3 \mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3 S3×S3,(36阶群) 则
S 3 ≅ ( { ( a , a ) ∣ a ∈ S 3 } , ⋅ ) ≅ S 3 × { ( 1 ) } = { ( 1 ) } × S 3 \mathcal{S}_3\cong\big(\{(a,a)|a\in\mathcal{S}_3\},\cdot\big)\\ \qquad\quad\cong\mathcal{S}_3\times \{(1)\}=\{(1)\}\times \mathcal{S}_3 S3≅({(a,a)∣a∈S3},⋅)≅S3×{(1)}={(1)}×S3
第一行不是 S 3 × S 3 \mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3 S3×S3的正规子群, 但是第二行是.
例子:(交换群, 等价于 d i d_i di阶循环群的直积)
G = C d 1 × ⋯ × C d n , C d ≅ ( Z / d Z , + ) = ⟨ g ⟩ , g d = e . G=C_{d_1}\times\cdots \times C_{d_n},\quad C_{d}\cong(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z},+)=\langle g\rangle,\quad g^d=e. G=Cd1×⋯×Cdn,Cd≅(Z/dZ,+)=⟨g⟩,gd=e.
对于具体的例子: C 4 × C 8 C_4\times C_8 C4×C8,
有几个4阶群, 有几个8阶群?
Sol.
通过循环群的定义计算,
半直积
H 1 ⊴ G , G / H 1 ≅ H 2 H_1\unlhd G,G/H_1\cong H_2 H1⊴G,G/H1≅H2, 则 G = H 1 ⋉ H 2 G=H_1\ltimes H_2 G=H1⋉H2.
- 如果 H 1 , H 2 H_1,H_2 H1,H2为循环群, G G G称为亚循环群.
可解群
正规子群链:
G = G 0 ⊃ G 1 ⊃ ⋯ G i ⊃ G i + 1 ⊃ ⋯ ⊃ G n = { e } , G=G_0\supset G_1\supset \cdots G_i\supset G_{i+1}\supset \cdots\supset G_n=\{e\}, G=G0⊃G1⊃⋯Gi⊃Gi+1⊃⋯⊃Gn={e},
其中 G i ⊴ G i − 1 G_i\unlhd G_{i-1} Gi⊴Gi−1.
合成群链(中间的任意两个商群都是单群, 或者中间找不到子群, 使正规子群链成立)
-
循环群的合成群链:
由循环群结构定理:
G ≅ C n ≅ ( Z / n Z , + ) , ∀ m ∣ n , ( m Z / n Z , + ) , G\cong C_n\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+), \forall m|n, (m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+), G≅Cn≅(Z/nZ,+),∀m∣n,(mZ/nZ,+),
得到: 若 n = p 1 ⋯ p s n=p_1\cdots p_s n=p1⋯ps, 则有
G = Z / n Z > p 1 Z / n Z > p 1 p 2 Z / n Z > ⋯ > p 1 ⋯ p s Z / n Z = { e } . G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}>p_1\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}>p_1p_2\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}>\cdots>p_1\cdots p_s\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{e\}. G=Z/nZ>p1Z/nZ>p1p2Z/nZ>⋯>p1⋯psZ/nZ={e}. -
交换群的合成群链:
由交换群结构定理,
G ≅ Z / d 1 Z × Z / d 2 Z × ⋯ × Z / d n Z , d 1 ∣ d 2 , ⋯ , d n − 1 ∣ d n , G\cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z}\times\cdots\times \mathbb{Z}/d_n\mathbb{Z}, \quad d_1|d_2,\cdots,d_{n-1}|d_n, G≅Z/d1Z×Z/d2Z×⋯×Z/dnZ,d1∣d2,⋯,dn−1∣dn,
于是我们有
G > Z / d 1 Z × ⋯ × Z / d n − 1 Z × { 1 } > ⋯ > Z / d 1 Z × { 1 } × ⋯ × { 1 } ⏟ n − 1 个 > { 1 } G>\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times\cdots\times \mathbb{Z}/d_{n-1}\mathbb{Z}\times\{1\}>\cdots>\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times\underbrace{\{1\}\times\cdots\times\{1\}}_{n-1个}>\{1\} G>Z/d1Z×⋯×Z/dn−1Z×{1}>⋯>Z/d1Z×n−1个 {1}×⋯×{1}>{1} -
p-群的合成群链:
G G G不交换, 则 Z ( G ) ≠ { 1 } \mathbb{Z}(G)\ne\{1\} Z(G)={1},
G > Z ( G ) > { 1 } . G>\mathbb{Z}(G)>\{1\}. G>Z(G)>{1}.
即 ∣ G ∣ = p n |G|=p^n ∣G∣=pn,
G > G 1 > ⋯ > G n = { 1 } G>G_1>\cdots>G_n=\{1\} G>G1>⋯>Gn={1}
其中 ∣ G i ∣ = p n − i |G_i|=p^{n-i} ∣Gi∣=pn−i,G G G交换, 直接由上述讨论得到.
G G G可解 ⟺ G i / G i + 1 \iff G_{i}/G_{i+1} ⟺Gi/Gi+1为素数阶循环群.
应用Sylow定理:
p a q p^aq paq阶群必可解( p , q p,q p,q为素数, a ∈ Z a\in \mathbb{Z} a∈Z).
证明:
具体的例子: 56 = 2 3 ⋅ 7 56=2^3\cdot7 56=23⋅7, 只有如下几种可能.(由Sylow第三定理)
n 2 = 1 , 7 n 7 = 1 , 8 n_2=1,7\\ n_7=1,8 n2=1,7n7=1,8
如果 n 7 = 8 n_7=8 n7=8, 则有8个7阶子群, 设为 ⟨ g 1 ⟩ , ⋯ , ⟨ g 8 ⟩ \langle g_1\rangle,\cdots,\langle g_8\rangle ⟨g1⟩,⋯,⟨g8⟩, 每个7阶子群有6个7阶元(以及1个单位元)
于是 56 − 6 × 8 = 8 56-6\times8=8 56−6×8=8还剩下8个元素(减掉48个7阶元), 这8个元素构成了Sylow-2群(除单位元之外, 剩下元素都是8阶元),
- ( 8 , 7 ) = 1 (8,7)=1 (8,7)=1, 于是sylow-2群没有7阶元(由Lagrange定理), 这8个非7阶元构成唯一的Sylow-2群, 于是 n 2 = 1 n_2=1 n2=1, 设此sylow-2群为 H H H, 则
G ⊵ H > { e } , ∣ H ∣ = 8. G\unrhd H>\{e\}, |H|=8. G⊵H>{e},∣H∣=8.
于是56阶群可解.