【经验模态分解】4.信号由时域向频域的转换
/*** @poject 经验模态分解及其衍生算法的研究及其在语音信号处理中的应用* @file 傅里叶变换与小波变换* @author jUicE_g2R(qq:3406291309)* * @language MATLAB* @EDA Base on matlabR2022b* @editor Obsidian（黑曜石笔记软件）* * @copyright 2023* @COPYRIGHT 原创学习笔记：转载需获得博主本人同意，且需标明转载源*/
- E M D EMD EMD 是 基于 傅里叶变换 与 小波变换 的改进
- E M D EMD EMD 与 离散小波变换 产生的背景是 基于解决 傅里叶变换 与 小波变换 在 时间尺度 上存在的缺陷
文章目录
- 1 傅里叶变换与短时傅里叶变换
- 1-1 （传统的）傅里叶变换
- 1-1-1 优点
- 1-1-2 缺陷
- 1-2 短时傅里叶变换
- 1-3 信号的频谱图和时频图实验
- 1-3-1 打开 信号分析器APP
- 1-3-2 面板设置
- 1-3-3 拖入信号
- 1-3-4 设置 采样率 S a m p l e R a t e SampleRate SampleRate
- 1-3-5 对每个面板选中相应的信号
- 1-3-6 选中面板并点击上方工具栏的**频谱**获得相应的频谱图
- 1-3-7 结论
- 2 离散小波变换
- 2-1 尺度因子
- 2-2 平移因子
1 傅里叶变换与短时傅里叶变换
1-1 （传统的）傅里叶变换
- 傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将 时域上的信号转换到频域上 的数学工具
1-1-1 优点
| 优点 | 详细说明 |
|---|---|
| 可时频转换 | 傅里叶变换可以将时域上的信号转换为频域上的信号，便于对信号的频率特征进行分析和处理 |
| 可分解 | 傅里叶变换可以将信号分解成多个不同频率的正弦和余弦函数，这些分量可以提供有关信号频率和振幅的信息 |
| 线性性 | 傅里叶变换具有线性性，可以对多个信号进行叠加处理 |
| 可逆性 | 可以将频率域上的信号转换回时域上的信号 |
1-1-2 缺陷
| 缺陷 | 详细说明 |
|---|---|
| 实时性差 | 傅里叶变换是一种理论分析工具，不适合对信号进行实时处理，因此需要使用快速傅里叶变换（FFT）等算法来加速计算 |
| 普适性差 | 傅里叶变换需要将整个信号在时间上进行全局分析，计算复杂度较高，不适合对长时间信号进行处理 |
| 局部性差 | 傅里叶变换对信号的局部特征无法进行分析，对于非周期性信号和突发性信号的频谱分析效果较差 |
| 处理特殊情况效果差 | 傅里叶变换对于非线性信号、带噪声信号等情况处理效果较差 |
- 傅里叶变换 是 对 一段信号 不分时间先后 来观察其中的频率成分 及 各个频率成分的贡献，即没有时间分辨率（不可通过傅里叶变换知道一个特定时间点的频率成分）
1-2 短时傅里叶变换
- 短时傅里叶变换 是 基于 （传统的）傅里叶变换 中 时间分辨率的缺陷 给出了相应的改进方法
短时：即将 长段信号源 拆分成 多段 短的信号源（但是 窗口大小是固定的【固定窗长】，这也是它的缺陷）
Ts = 0:0.001:2; % 采样频率1000次每秒，时长为2s
%% 两个源信号用的是扫频函数chirp()
Sig_Low2High = chirp(Ts, 50, 2, 300); % 低频到高频：从 50Hz 线性升至 300Hz
Sig_High2Low = chirp(Ts, 300, 2, 50); % 高频到地频：从 300Hz 线性升至 50Hz
1-3 信号的频谱图和时频图实验
步骤：
1-3-1 打开 信号分析器APP
1-3-2 面板设置
1-3-3 拖入信号
1-3-4 设置 采样率 S a m p l e R a t e SampleRate SampleRate
注：两个信号要分别修改对应的 S a m p l e R a t e SampleRate SampleRate
1-3-5 对每个面板选中相应的信号
1-3-6 选中面板并点击上方工具栏的频谱获得相应的频谱图
-
分析上述频谱图
左面板是 高频 到 低频，右面板是 低频 到 高频：
两边的频谱图是一模一样的，一个原因是两个信号都是扫频函数（频率线性变化），另一个是频谱工具箱得到的频谱图是通过 傅里叶变换 得到的（傅里叶变换是全局的，两个全局确实一样，但局部不一样） -
选中面板并点击上方工具栏的时谱获得相应的时谱图
时频图是根据 短时傅里叶变换 得到的，很明显的可以看到两个信号的区别，同时体现了 短时傅里叶变换 具有 时间与频率的分辨率。
1-3-7 结论
傅里叶变换 相较于 短时傅里叶变换 存在明显的 时频分辨率 上的差异
2 离散小波变换
- 在 频域 上来看，离散小波变换 相当于一个 带通滤波器，相当于通过 尺度因子 与 平移因子
| 因子 | 作用 |
|---|---|
| 尺度因子 | 控制 小波基 的 伸展程度（控制 频率） |
| 平移因子 | 控制 时间 |
- 较 短时傅里叶变换 而言，离散小波变换 具有平衡 频率分辨率 与 时间分辨率 的优势
2-1 尺度因子
- 小波母函数
C e n t F r e q ( 中心频率 ) = S c a l e F a c t o r ( 尺度因子 ) ∗ f CentFreq(中心频率)=ScaleFactor(尺度因子)*f CentFreq(中心频率)=ScaleFactor(尺度因子)∗f
2-2 平移因子
-
能使得 时间和频率之间 达到 平衡
离散小波变换 是 对 短时傅里叶变换 在 固定窗长 这一特性出现 “低频精度不高，高频分辨率太低” 缺陷的一种解决办法。 -
C ( 常数 ) = W d n L e n ( 窗长 ) ∗ f C(常数)=WdnLen(窗长)*f C(常数)=WdnLen(窗长)∗f
高频时：具有很高的 时间分辨率，窗长小
低频时：具有很高的 频率精度，窗长大
本节参考视频源：NO.11 两步搞定经验模态分解与离散小波变换-哔哩哔哩